3.1.2 第一课时 排列与排列数（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

3.1.2　排列与排列数 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例，理解排列与排列数的概念． 2.能利用计数原理推导排列数公式并能解决简单的实际问题． 重点 难点 重点：掌握排列数公式． 难点：应用排列数公式解决实际问题. 第一课时　排列与排列数 1．排列 (1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． (2)两个排列，如果组成排列的对象是相同的，并且对象的排列顺序也相同，那么就称这两个排列是相同的；否则，就称为是不同的． 2．排列数 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示． 1．排列概念的理解 (1)定义中给出的n个对象互不相同，抽取的m个对象是从n个对象中不重复地抽取的，因而这m个对象也是互不相同的． (2)排列的定义包括两个基本内容：一是“取出对象”，二是“按照一定顺序”排列．因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m个对象，再按照顺序排列”． (3)定义规定m≤n，当m＝n时，称为全排列． 2．排列问题与分步乘法计数原理问题的区别 排列要从“n个不同的对象中取出m个对象”，即在排列问题中，对象不能重复选取，而在分步乘法计数原理中，对象可以重复选取． 1．判断正误 (1)顺序是判断是否为排列问题的关键点，也是唯一的判断依据．(　 ) (2)在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．(　 ) (3)用1,2,3这三个数字组成无重复数字的三位数，123与321是不相同的排列．(　 ) (4)从圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　 ) A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 解析：选C　从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙． 排列数 公式 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 A＝ 阶乘 A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！ 规定 0！＝1，A＝1 性质 A＋mA＝A 排列数公式的特点 (1)公式中的m，n应该满足：m，n∈N＋，并且m≤n，当m>n时不成立． (2)排列数公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数小1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘． 1．14×13×12×11×10×9等于(　 ) A．A B．A C．A D．A 解析：选D　最大因数为14，共有6个连续正整数相乘，所以n＝14，m＝6，故14×13×12×11×10×9＝A. 2．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为(　 ) A．5 B．10 C．20 D．60 解析：选C　此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共有A＝20种不同的送书方法. —————————————————————————————————— 排列的概念 —————————————————————————————————————— [典例1]　判断下列问题是否是排列问题． (1)同宿舍4人，每两人互通一封信，他们一共写了多少封信？ (2)同宿舍4人，每两人通一次电话，他们一共通了几次电话？ (3)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1? (4)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ [解]　(1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好． (2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话． (3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． (4)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题． [方法技巧] 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 　　 [对点训练] 1．下列问题是排列问题吗？ (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？