第5章 一元函数的导数及其应用 章末小结（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．数形结合思想在利用导数研究函数零点(方程根)中的应用：涉及函数的零点(方程根)问题，关键是将函数零点(方程根)转化为两函数的图象交点问题，利用导数工具确定函数的单调性、极值与最值的情况，确定函数的大致图象，从而确定参数的取值范围． 2．本章在研究函数单调性、极值、最值及不等式恒成立等问题中，函数解析式中含有参数时，往往需要对参数进行分类讨论．在分类讨论时，首先要确定好分类的对象以及分类的标准和依据；其次在讨论时还要遵循不重复不遗漏的原则，逐级逐类进行讨论；最后要把讨论的结果进行整合． 3．转化与化归思想在不等式恒成立问题中的应用：转化与化归思想在利用导数研究函数中的应用广泛，在本章中解决一些恒成立问题或存在性问题，我们可以将问题转化为与之等价的最值问题，解题过程中体现了转化的数学思想． 二、把握重点·常考题型集训 题型一　导数的几何意义及应用 1．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　 ) A．2e B．e C．2 D．1 解析：选C　y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝2. 2．已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 解：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，∴点(2, －6)在曲线上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2, －6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13， ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32. (2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16. 又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，∴k＝3×(－2)2＋1＝13， ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． [题型技法] 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型． 题型二　函数的单调性与导数 3．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　 ) A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞) B．(－3，－1)∪(1,3) C．(－2,2) D．不存在这样的实数k 解析：选B　由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根．又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或x＝－2两侧异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，∴k－1<2<k＋1或k－1<－2<k＋1，解得1<k<3或－3<k<－1，故A、C、D错误． 4．设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间． 解：(1)因为f(x)＝xea－x＋bx， 所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b. 依题设，即 解得 (2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex. 由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知， f′(x)与1－x＋ex－1同号． 令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1. 所以当x∈(－∞， 1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞， 1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞， ＋∞)． [题型技法] 函数的单调性与导数的关注点 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间上的单调性时，转化要等价． (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离参数法． 题型三　利用导数研究函数的极值、最值 5．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)． (1)若函数f(x)在x