5.3.2 第三课时 利用导数解决函数的相关问题（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第三课时　利用导数解决函数的相关问题 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.体会导数与函数单调性、最大(小)值的关系． 2.掌握导数在实际问题中的应用． 3.感悟利用导数解决与不等式、函数零点有关的问题． 重点 难点 导数的实际应用及利用导数解决与不等式、函数零点有关的问题. —————————————————————————————————— 导数的实际应用问题 —————————————————————————————————————— [典例1]　有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ [解]　如图所示，依题意，点C在直线AD上，设C点距D点x km. 因为BD＝40，AD＝50，所以AC＝50－x. 所以BC＝ ＝. 又设水管总费用为y元，则 y＝3a(50－x)＋5a(0<x<50)． 所以y′＝－3a＋ . 令y′＝0，解得x＝30或x＝－30(舍去)． 当x<30时，y′<0；当x>30时，y′>0. 所以当x＝30时，y取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)， 即供水站C建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．　 [方法技巧] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．　　 [对点训练] 1．已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接，其中半圆的直径为2r，如果窗子的周长为10，求当半径r取何值时窗子的面积最大． 解：设矩形的另一边长为x，窗子的面积为S. ∵半圆弧长为πr， ∴πr＋2r＋2x＝10， ∴x＝. 又S＝πr2＋2xr＝10r－r2， ∴S′＝10－(π＋4)r，令S′＝0，得r＝. 当0<r<时，S′>0；当<r<时，S′<0. ∴r＝是S的唯一极大值点，也是最大值点． ∴当r＝时，窗子的面积最大． —————————————————————————————————— 利用导数证明不等式问题 —————————————————————————————————————— [典例2]　已知x>1，证明：ln x＋>1. [证明]　令f(x)＝ln x＋(x>1)，∴f′(x)＝－＝， ∵x>1，∴f′(x)>0， ∴f(x)＝ln x＋在(1，＋∞)上单调递增， ∴f(x)>f(1)＝ln 1＋1＝1. 从而ln x＋>1，命题得证．　 [方法技巧] 利用导数证明不等式的思路 (1)若要证明f(x)>a成立，只需证明f(x)min>a即可． (2)若要证明f(x)>g(x)在区间D上成立，基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性证明h(x)min>0. [对点训练] 2．已知x>0，证明：1＋2x<e2x. 证明：设f(x)＝1＋2x－e2x，则f ′(x)＝2－2e2x＝2(1－e2x)， 当x>0时，2x>0，e2x>e0＝1，∴f ′(x)＝2(1－e2x)<0， ∴函数f(x)＝1＋2x－e2x在(0, ＋∞)上是减函数． ∵函数f(x)＝1＋2x－e2x是连续函数， ∴当x>0时，f(x)<f(0)＝0， ∴当x>0时，1＋2x－e2x<0，即1＋2x<e2x. —————————————————————————————————— 利用导数解决函数零点(方程的根)问题 —————————————————————————————————————— [典例3]　(2021·全国甲卷)已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0)． (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间． (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝2时，f(x)＝，则f′(x)＝＝＝. ∴当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.即f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)要使曲线y＝f(x)与直线y＝1有2个交点， 即＝1有2个解，则＝有2个解． 令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝(x＞0)． 令g′(x)＝＝0，解得x＝e. 令g′(x)＞0，解得0＜x＜e，此时g(x)单调递增； 令g′(x)＜0，解得x＞e，此时g(x)单调递减． 故g(x)max＝g(e)＝. 而g(x)在x＞e时，g(x)∈