5.3.2 第二课时 函数的最大(小)值（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第二课时　函数的最大(小)值 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 2.体会导数与函数最大(小)值的关系． 重点 难点 重点：求函数的最大(小)值． 难点：对导数与函数最值的关系的理解. 函数的最大小值 1．函数f(x)在区间[a, b]上的最值 (1)取得最值的条件：在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线． (2)结论：函数y＝f(x)必有最大值和最小值，函数的最值在极值点或区间端点取得． 2．求函数y＝f(x)在区间[a, b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a, b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (1)对函数最大(小)值的认识 ①闭区间上的连续函数一定有最值，开区间上的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． ②函数的最大值和最小值是一个整体性概念． (2)函数最值与极值的区别与联系 ①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念． ②函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个． ③极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值． 1．设在区间[a，b]上函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且函数f(x)在区间(a，b)上可导，有以下三个命题： ①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值； ②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值； ③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得． 其中正确的命题共有(　 ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选A　由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间(a，b)内取得，故当在区间(a，b)内取得时，最值必是相应的极值，而当最值在区间端点处取得时，其最值一定不是极值，因此命题①②③都不正确． 2．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值、最小值分别是(　 ) A．f(1)与f(－1) B．f(1)与f(2) C．f(－1)与f(2) D．f(2)与f(－1) 解析：选B　f ′(x)＝4－4x3，f′(x)>0，即4－4x3>0，解得x<1.同理，f′(x)<0，解得x>1，∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f(x)＝4x－x4在x＝1处取得极大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，∴f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)． 3．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　 ) A．无最值 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值 解析：选A　f ′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值． —————————————————————————————————— 求闭区间上函数的最值 —————————————————————————————————————— [典例1]　(1)求函数f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]的最值． (2)求函数f(x)＝(e＝2.718 28…是自然对数的底数)的最值． [解]　(1)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，由x∈[0,2π]，解得x＝或x＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x 0 2π f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 0 单调递增 ＋ 单调递减 － 单调递增 π 由表可知，当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. (2)由题意知f(x)的定义域为R. f′(x)＝(1－2x)e－2x，令f′(x)＝0，解得x＝. 当x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 故函数f(x)的最大值为f＝e－1，无最小值． [方法技巧] 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值. [对点训练] 1．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．若f′(－1)＝0. (1