5.3.1 第二课时 函数单调性的综合问题（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第二课时　函数单调性的综合问题 —————————————————————————————————— 讨论含参数的函数的单调性 —————————————————————————————————————— [典例1]　讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性． [解]　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝， 设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a. 当a＝0时，f ′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数； 当a>0时，由g(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)． 当x∈时，g(x)<0，即f′(x)<0；当x∈时，g(x)>0，即f′(x)>0. ∴当a>0时，函数f(x)在区间内为减函数，在区间上为增函数． 综上，当a＝0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减． [拓展]　 若把本例的条件“a≥0”改为“a<0”，结果如何？ 解：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝， 设g(x)＝2x2－a，当a<0时，g(x)>0，从而f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数． [方法技巧] (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误． (2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．　　 [对点训练] 1．试确定函数f(x)＝x3－(a＋a2)x2＋a3x＋a2的单调递减区间． 解：y′＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)， 令y′<0，得(x－a)(x－a2)<0. ①当a<0时，不等式的解集为a<x<a2，此时函数的单调递减区间为(a，a2)； ②当0<a<1时，不等式的解集为a2<x<a，此时函数的单调递减区间为(a2，a)； ③当a>1时，不等式的解集为a<x<a2，此时函数的单调递减区间为(a，a2)； ④当a＝0或a＝1时，y′≥0，此时，无单调递减区间． 综上所述，当a<0或a>1时，函数f(x)的单调递减区间为(a，a2)；当0<a<1时，函数f(x)的单调递减区间为(a2，a)；当a＝0或a＝1时，无单调递减区间． ————————————————————————————————— 由函数的单调性求参数的取值范围问题 ————————————————————————————————————— [典例2]　已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围． [解]　f′(x)＝3x2－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立． 因为3x2≥0，所以只需a≤0. 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞， 0]． [拓展] 1．函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1, 1)内为减函数，试求a的取值范围． 解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1, 1)上恒成立，得a≥3x2在(－1, 1)上恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以a≥3. 即当a的取值范围为[3, ＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数． 2．函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值． 解：由本例可知，f(x)的单调递减区间为，所以＝1，即a＝3. [方法技巧] 1．已知f(x)在区间(a，b)内的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)内单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)内单调递增(减)的问题，则f ′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立． 2．解决恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max； (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min. [对点训练] 2.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6, ＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围． 解：f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]， 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1， 因为函数在区间(1,4)上为减函数， 所以当x∈(1, 4)时，f′(x)≤0， 又因为函数在区间(6, ＋∞)上为增函数， 所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6， 所以5≤a≤7. 即实数a的取