4.4 数学归纳法（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．4*　数学归纳法 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解数学归纳法的原理． 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单问题． 重点难点 重点：理解数学归纳法的简单应用． 难点：对数学归纳法的理解. 数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． (3)利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　 ) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　 ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时，f(n)＝(　 ) A．1 B. C．1＋＋ D．以上答案均不正确 答案：C 3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有______________． 答案：f(2n)＞ —————————————————————————————————— 用数学归纳法证明等式 —————————————————————————————————————— [典例1]　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)． [证明]　①当n＝1时，左边＝1－＝， 右边＝＝，左边＝右边． ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 即1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋， 则当n＝k＋1时， ＋ ＝＋ ＝＋＋…＋＋. 即当n＝k＋1时，等式也成立． 综合①②可知，对一切n∈N*，等式成立． [方法技巧] 用数学归纳法证明恒等式应注意的三点 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．　　 [对点训练] 1．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，左边＝12，右边＝×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)， 则当n＝k＋1时， 12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2 ＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2 ＝k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2 ＝(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)] ＝(2k＋1)(2k2＋5k＋3) ＝(2k＋1)(k＋1)(2k＋3) ＝(k＋1)(4k2＋8k＋3) ＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]， 即当n＝k＋1时，等式成立． 由①②可知，对一切n∈N*等式成立． —————————————————————————————————— 归纳—猜想—证明 —————————————————————————————————————— [典例2]　已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和且Sn是2a与－2nan的等差中项，其中a是不为0的常数． (1)求a1，a2，a3； (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明． [解]　(1)由题意知Sn＝a－nan， 当n＝1时，S1＝a1＝a－a1，解得a1＝. 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝a－2a2，解得a2＝. 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝a－3a3，解得a3＝. (2)猜想：an＝(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，由(1)知等式成