4.3.2 第一课时 等比数列的前n项和公式（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

　4.3.2　等比数列的前n项和公式 第一课时　等比数列的前n项和公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式． 2．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 重点 难点 重点：等比数列前n项和公式及应用． 难点：等比数列前n项和. 1．等比数列的前n项和公式 (1)一般地，使用等比数列求和公式时需注意： ①一定不要忽略q＝1的情况． ②知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和公比q，可以用. ③在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个． (2)两种思想：关于等比数列前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，解决两个基本量：首项a1和公比q，从而求出通项公式．同时此类问题在求解中经常使用整体代换的思想． 2．等比数列的前n项和的性质 (1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)． (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列． 1．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　 ) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析：选A　由S5＝＝44，得a1＝4. 2．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝(　 ) A．－4 B．－1 C．0 D．1 解析：选B　设等比数列为{an}，由已知得a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝48. ∵a＝a1·a3，即144＝(4＋a)×48，∴a＝－1. 3．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn＝________. 解析：当x＝1时，Sn＝n；当x≠1时，Sn＝. 答案： 4．对于等比数列{an}，a1＝5，q＝2，Sn＝35，则an＝________. 解析：由Sn＝，得an＝＝＝20. 答案：20 —————————————————————————————————— 等比数列前n项和的基本运算 —————————————————————————————————————— [典例1]　在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. [解]　(1)由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. (2)法一：由题意知解得 从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，从而S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或 又Sn＝＝126，所以q＝2或q＝. [方法技巧] 等比数列前n项和的运算技巧 (1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． (2)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解． [对点训练] 1．在等比数列{an}中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解：法一：∵an＝96，q＝2，∴a1·2n＝192.　① 又∵Sn＝＝189，即a1－a1·2n＝－189， ∴a1＝a12n－189＝192－189＝3，代入①式得n＝6. 法二：由公式Sn＝及已知，得189＝，解得a1＝3. 又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6. —————————————————————————————————— 等比数列前n项和性质及应用 —————————————————————————————————————— [典例2]　(1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝(　 ) A．80 B．30 C．26 D．16 (2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________． (3)若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________. [解析]　(1)由题意知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，设公比为q，则S3n＝S