4.3.2 第三课时 数列的综合问题（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第三课时　数列的综合问题 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用裂项相消法，错位相减法求和． 2.体会数列与不等式等综合问题． 重点 难点 重点：裂项相消法，错位相减法求和． 难点：放缩法的应用. —————————————————————————————————— 裂项相消法求和 —————————————————————————————————————— 几种常见的裂项方式 数列 (n为正整数) 裂项方式 (k为非零常数) ＝ ＝ ＝－ (a>0，a≠1) loga＝loga(n＋1)－logan [典例1]　已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝－logan，求数列的前n项和Tn. [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q， 由a＝9a2a6得a＝9a，∴q2＝. 由条件可知q>0，故q＝. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1， ∴a1＝. 故数列{an}的通项公式为an＝. (2)∵an＝，∴bn＝－log＝2n， ∴＝＝， ∴Tn＝ ＝＝. [方法技巧] 裂项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和．使用此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点． [对点训练] 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且－＝1. (1)求Sn； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为＝＝a1＋(n－1)， 所以为一个等差数列， 所以－＝＝1，所以d＝2， 故＝n，所以Sn＝n2. (2)因为＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝ 1－＝. —————————————————————————————————— 错位相减法求和 —————————————————————————————————————— [典例2]　已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n项和，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. [解]　(1)因为2Sn＝nan， 当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0； 当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2； 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1，所以2(Sn－Sn－1)＝nan－(n－1)an－1＝2an， 化简得(n－2)an＝(n－1)an－1.当n≥3时，＝＝…＝＝1，即an＝n－1. 当n＝1,2,3时都满足上式，所以an＝n－1(n∈N*)． (2)因为＝，所以Tn＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n， Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1， 两式相减得， Tn＝1＋2＋3＋…＋n－n×n＋1＝－n×n＋1＝1－n，即Tn＝2－(2＋n)n，n∈N*. [方法技巧] 错位相减法求和的注意点 (1)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． [对点训练] 2．已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2，n∈N*)． (1)求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式； (2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)证明：由已知，得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝1(n≥2，n∈N*)，即an＋1－an＝1(n≥2，n∈N*)，且a2－a1＝1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴an＝n＋1. (2)由(1)知bn＝(n＋1)·3n，则 Tn＝2·31＋3·32＋4·33＋…＋n·3n－1＋(n＋1)·3n，① 3Tn＝2·32＋3·33＋4·34＋…＋n·3n＋(n＋1)·3n＋1，② ①－②，得－2Tn＝2·31＋32＋33＋34＋…＋3n－(n＋1)·3n＋1＝3＋－(n＋1)·3n＋1＝·3n＋，∴Tn＝·3n－. —————————————————————————————————— 数列与不等式相结合 —————————————————————————————————————— [典例3]　(2021·浙江高考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式． (2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n