4.3.2 第二课时 等比数列的前n项和的应用（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第二课时　等比数列的前n项和的应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握等差数列与等比数列的综合应用． 3．能用分组转化方法求数列的和． 重点 难点 重点：等比数列的综合问题及分组转化求和． 难点：等比数列的综合问题. —————————————————————————————————— 等比数列前n项和在几何图形中的应用 —————————————————————————————————————— [典例1]　把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去． (1)图③中共挖掉了__________个正方形； (2)第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是__________． [解析]　(1)设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝. 故题图③中共挖掉了＝73个正方形． (2)由(1)知，第n个图形共挖掉了个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×2＋8×4＋82×6＋…＋8n－1×2n＝＝1－n. [答案]　(1)73　(2)　1－n [拓展] 本例中若一直继续下去，则这些被挖掉的正方形面积之和趋近于多少？ 解：由本例解法，设被挖掉的正方形面积之和为Sn，则Sn＝1－n，由于一直继续下去，即n无限增大时，n无限趋近于0，此时被挖掉的正方形面积之和趋近于1. [方法技巧] 解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数列模型,再利用等比数列的相关知识求解． [对点训练] 1.如图，已知△ABC的面积为4，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2 020个三角形的面积为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　观察题图可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的，设第n个三角形的面积为an，则数列{an}是首项为a1＝4，公比为的等比数列， ∴an＝4×n－1＝n－2，∴第2 020个三角形的面积为a2 020＝2 018＝. —————————————————————————————————— 等比数列前n项和在增长率中的应用 —————————————————————————————————————— [典例2]　从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. 设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式． [解]　第一年投入为800万元，第二年投入为800万元，…，第n年投入为800n－1万元．所以n年内的总投入为an＝800＋800＋…＋800 n－1＝4 000－4 000 n； 第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400万元，…， 第n年旅游业收入为400 n－1万元． 所以n年内的旅游业总收入为bn＝400＋400＋…＋400 n－1＝1 600 n－1 600. [方法技巧] 应用等比数列前n项和公式解决实际问题的步骤 (1)构建数列模型； (2)由题设确定数列为等比数列，并求公比q，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出公比q； (3)利用等比数列前n项和公式进行计算． 注意：①数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份；②正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和． [对点训练] 2．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备． (1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？ (2)依照(1)的更换速度，共需多少年能换完所有需要更换的旧设备？ 下列数据供计算时参考： 1.19≈2.36 1.004 99≈1.04 1.110≈2.60 1.004 910≈1.05 1.111≈2.85 1.004 911≈1.06 解：(1)设今年有学生b人， 则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10≈1.05b. 由题设可知，1年后的设备数量为a×(1＋10%)－x