4.3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

　4.3.1　等比数列的概念 第一课时　等比数列的概念及通项公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列通项公式的意义． 重点 难点 重点：理解等比数列概念及等比数列通项公式的应用． 难点：等比数列通项公式的应用. 1．等比数列的定义 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零． (2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒． (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． 2．等比中项 (1)条件：如果a，G，b成等比数列． (2)结论：那么G叫做a与b的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝ab. 等比中项与等差中项的异同 对比项 等差中项 等比中项 定义式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝± 个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有两个，且互为相反数 备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有实数等比中项 1．下列数列为等比数列的是(　 ) A．2,22,3×22，… 　　　 B.，，，… C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，… 解析：选B　A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中的项可为0，不符合定义． 2．2＋和2－的等比中项是(　 ) A．1 B．－1 C．±1 D．2 解析：选C　设2＋和2－的等比中项为a，则a2＝(2＋)(2－)＝1，即a＝±1. 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(q≠0)． (1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量． (2)等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点． 1．已知{an}为等比数列，a1＝12，a2＝24，则a3＝(　 ) A．36　　　B．48　　　C．60　　　D．72 答案：B 2．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝__________. 解析：a7＝a4q7－4＝27×(－3)3＝－729. 答案：－729 —————————————————————————————————— 等比数列的通项公式及其应用 —————————————————————————————————————— [典例1]　(1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式为an＝________. [解析]　(1)因为an＝a1qn－1，所以×n－1＝，即n＝5，解得n＝5. (2)设等比数列{an}的公比为q， 由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝， 由a＝a10＝a1q9>0，得a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10，即(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n. [答案]　(1)C　(2)2n [方法技巧] 求a1和q的两种方法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [对点训练] 1．已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于(　 ) A．1 B．2 C．－2 D．－1 解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，因为4a1,2a2，a3成等差数列，所以4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2. 2．在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：设公比为q，由题意，得 由得q＝，∴a1＝32. 又an＝1，∴32×n－1＝1，即26－n＝20，∴n＝6. —————————————————————————————————— 等比中项及其应用 —————————————