4.3.1 第二课时 等比数列的性质及其应用（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第二课时　等比数列的性质及其应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题． 重点 难点 重点：利用等比数列解应用题及等比数列的性质． 难点：等比数列的实际应用. 1．等比数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1qn－1 (揭示首末两项的关系) an＝amqn－m (揭示任意两项之间的关系) 2．等比数列项的运算性质 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a. (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则： ①{can}(c为任一常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； ③{a}(m为常数，n∈N*)是公比为qm的等比数列． (2)若{an},{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列． 1．若{an}，{bn}都是等比数列，则下列数列仍是等比数列的是(　 ) A．{an＋bn} B．{an－bn} C．{anbn} D．{an＋5} 解析：选C　两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列．故选C. 2．在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2－2x－6＝0的两根，则a4·a7＝(　 ) A．－6 B．－2 C．2 D. 解析：选B　a4a7＝a1a10＝＝－2. 3．在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于(　 ) A．9 B．6 C．3 D．2 解析：选C　因为a2a9＝a1a10＝27，所以log3a2＋log3a9＝log327＝3. —————————————————————————————————— 等比数列的实际应用 —————————————————————————————————————— [典例1]　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ [解]　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列的定义知，数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1. ∴n年后车的价值为an＝13.5×0.9n－1万元． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元． [方法技巧]　解等比数列应用题的步骤 [对点训练] 1．某制糖厂2022年制糖5万吨，如果从2022年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(结果保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079) 解：记该糖厂每年制糖量依次为a1，a2，a3，…，an，….则依题意可得a1＝5，＝1.2(n≥2且n∈N*)， 从而an＝5×1.2n－1>30， 故1.2n－1>6， 即n－1>log1.26＝＝≈9.85.故n＝11. 即从2032年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨. —————————————————————————————————— 等比数列性质及其应用 —————————————————————————————————————— [典例2]　已知{an}为等比数列． (1)若{an}满足a2a4＝，求a1aa5； (2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． [解]　(1)等比数列{an}中，∵a2a4＝， ∴a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝. (2)由等比中项，化简条件得a＋2a3a5＋a＝25， 即(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5＝5. (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395