4.2.1 第一课时 等差数列的概念及通项公式（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

　4.2.1　等差数列的概念 第一课时　等差数列的概念及通项公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2．理解等差数列通项公式的意义． 重点 难点 重点：等差数列通项公式的应用． 难点：理解等差数列的概念及等差数列通项公式的应用. 一等差数列的概念 1．等差数列的定义 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 递推公式 an＋1－an＝d(d为常数) 对等差数列概念的解读 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列． (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项． (3)满足的关系式：2A＝a＋b. 1. 判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)常数列是等差数列．(　 ) (2)－1，－2，－3，－4，－5不是等差数列．(　 ) (3)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2. x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y等于(　 ) A．0 B．10 C．20 D．不确定 解析：选C　因为x＋1与y－1的等差中项为10，所以(x＋1)＋(y－1)＝2×10，所以x＋y＝20. 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (1)等差数列通项公式与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列． (2)等差数列通项公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d 四个参数 a1，d，n，an “知三求一” 知a1，d，n求an 知a1，d，an求n 知a1，n，an求d 知d，n，an求a1 1．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为(　 ) A．an＝3n－1 B．an＝2n＋1 C．an＝2n＋3 D．an＝3n＋2 解析：选A　an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1. 2．已知等差数列{1－3n}，则公差d等于(　 ) A．1 B．3 C．－3 D．n 解析：选C　∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3. —————————————————————————————————— 等差数列的通项公式及其应用 —————————————————————————————————————— [典例1]　在等差数列{an}中， (1)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9； (2)已知a3＝9，a9＝3，求通项公式an； (3)已知a1＝9，公差d＝－2，an＝－15，求n； (4)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66. 求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？ [解]　(1)a1＋a6＝2a1＋5d＝12，a4＝a1＋3d＝7，将两式联立解得d＝2，a1＝1.故a9＝a1＋8d＝17. (2)由已知可得解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝11－(n－1)＝－n＋12. (3)因为an＝a1＋(n－1)d，所以－15＝9－2(n－1)，解得n＝13. (4)依题意得 ∴ 解得或 ∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0. 故取a1＝11，d＝－5，∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16. 即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16. 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10. ∴－34是数列{an}的第10项． [方法技巧]　求等差数列通项公式的步骤 [对点训练] 1．设数列，，2，，…，则4是这个数列的(　 ) A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 解析：选D　由题意可知，数列即，，，，…，由此可得，an＝＝.由＝4，解得，n＝11.所以4是这个数列的第11项． 2．已知等差数列{an}：3,7,11,15，…. (1)求{an}的通项公式． (2)135,4m＋19(m∈N*)是数列{an}中的项吗？请说明理由． (3)若am，at(m，