4.2.1 第二课时 等差数列的性质及其应用（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第二课时　等差数列的性质及其应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解等差数列的有关性质． 2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 重点 难点 重点：等差数列的实际应用及其性质的应用． 难点：等差数列性质的应用. 1．等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋(n－1)d (揭示首末两项的关系) an＝am＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系) (2)项的运算性质 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 2．等差数列的性质 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列 {c·an} 公差为cd的等差数列 {an＋an－k} 公差为2d的等差数列 {pan＋qbn} 公差为pd1＋qd2的等差数列 1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4等于(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C　 a3＋a4＋a5＝3a4＝12，a4＝4. 2．等差数列{an}中，a3＝7，a7＝－5，则公差d＝(　 ) A．3 B．－3 C．2 D．－2 解析：选B　由题意得4d＝a7－a3＝－5－7＝－12，所以d＝－3. 3．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是(　 ) A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列 解析：选D　(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19，即数列{an＋bn}是公差为19的等差数列． 4．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列． 解析：(an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d. 答案：3d —————————————————————————————————— 等差数列的实际应用 —————————————————————————————————————— [典例1]　某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？ [解]　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元． 所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n＝11， 此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)，即需要支付车费23.2元． [拓展] 1．在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km，按1 km计费)处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需支付多少车费？ 解：由题意知，当出租车行至18.5 km处时，n＝16，此时需支付车费a16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)，即需要支付车费29.2元． 2．在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往n km(n∈N*)处的目的地，求其需支付的车费an. 解：当n∈{1,2,3}时，an＝10， 当n≥4，且n∈N*时，an＝11.2＋(n－4)×1.2＝1.2n＋6.4. 所以an＝ [方法技巧] (1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． (2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． [对点训练] 1．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损． ∴由an＝220－20n<0，得n