4.1 第二课时 数列的递推公式及前n项和（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第二课时　数列的递推公式及前n项和 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1. 理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项． 2．掌握累加法、累乘法求数列通项公式的技巧． 3．会由数列的前n项和公式求数列的通项公式． 重点 难点 重点：由递推公式、数列前n项和求数列通项公式． 难点：理解数列递推公式及数列前n项和. 一数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． (1)通项公式与递推公式的区别：①通项公式反映的是an与n的关系，递推公式反映的是项与项之间的关系；②若已知n的值，则由通项公式可直接求出an的值，而通过递推公式只能间接求出an的值． (2)利用递推公式求一个数列，必须具备：①数列第1项或前几项，②递推关系，这两个条件缺一不可． 1. 下列数列中符合递推关系式an＝an－1的数列是(　 ) A．1,2,3,4，… B．1，，2,2，… C.，2，，2，… D．0，，2,2，… 答案：B 2. 在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝an－3，则a3等于(　 ) A．－7 B．－4 C．－1 D．2 解析：选A　a2＝a1－3＝－1－3＝－4，a3＝a2－3＝－4－3＝－7. 1．数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．an与Sn的关系 an＝. (1)对于由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的an的表达式，若令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式可用an＝Sn－Sn－1表示． (2)对于由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的an的表达式，若令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式表示，即an＝ 1．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为(　 ) A．1 B．3 C．5 D．6 解析：选C　∵Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，∴S1＝0，S3＝8，∴a1＝0，a2＝3，a3＝5，a1＋a3＝5. 2．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则an＝________. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝－2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－4n＋2. 显然n＝1时符合，故an＝－4n＋2. 答案：－4n＋2 ————————————————————————————————— 由数列的递推公式求项 ———————————————————————————————————— [典例1]　数列{an}中，a1＝1,4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N*)． (1)写出数列{an}的前4项； (2)请直接写出{an}的一个通项公式． [解]　(1)由4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N*)，可得an＋1＝. 因为a1＝1，所以a2＝＝＝，a3＝＝＝， a4＝＝＝. (2)因为a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝， 所以数列{an}的一个通项公式为an＝. [方法技巧] 由递推公式写出数列的项的方法 由递推公式求数列某些项的值，只需根据题目给出的已知项的值，代入递推公式求得相邻项的值，以此类推，逐步求得所要求的项的值． [对点训练] 1．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求a2 023. 解：a2＝＝＝－3，a3＝＝＝－，a4＝＝＝，a5＝＝＝2＝a1.故{an}是周期为4的数列，所以a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－. —————————————————————————————————— 由数列的递推公式求通项公式 —————————————————————————————————————— [典例2]　已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋－，n∈N*，求数列的通项公式an. [解]　∵an＋1－an＝－， ∴a2－a1＝－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－(n≥2)， ∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) ＝＋＋…＋， 即an－a1＝1－(n≥2)． ∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2)， 又当n＝1时，a1＝－1，也符合上式． ∴an＝－，n∈N*. [拓展] 若本例条件变为“