专题07直线的方程（1个知识点4个拓展8种题型3个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

专题07直线的方程（1个知识点4个拓展8种题型3个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.直线方程的几种形式 拓展1.灵活选择直线方程的几种形式 拓展2.利用直线方程判定直线的位置关系 拓展3.直线方程过定点问题 拓展4.利用直线系方程求直线的方程 【方法二】 实例探索法 题型1.直线的点斜式方程 题型2.直线的斜截式方程 题型3.两条直线的位置关系 题型4.直线的两点式方程及其应用 题型5.直线的截距式方程及其应用 题型6.中点坐标公式及其应用 题型7.直线的一般式方程与其他形式的转化与应用 题型8.一般式形式下直线的平行与垂直问题 【方法三】差异对比法 易错点1.有关截距相等问题忽略截距为零致错 易错点2.已知两直线平行求参数的值未验证致错 易错点3.未讨论参数的取值致错 【方法四】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.直线方程的几种形式 【例1】　(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________． 【变式】分别求出经过点P(3,4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直． 【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【变式】已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【例3】(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________． (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________. 【变式】求经过两点A(2，m)和B(n,3)的直线方程． 【例4】求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程． 拓展1.灵活选择直线方程的几种形式 求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法，但在待定条件下，应考虑下面的设法。 （1）已知直线的纵截距，常设方程的斜截式； （2）已知直线的横截距和纵截距，常设方程的截距式（截距均不为0）； （3）已知直线的斜率和所过的定点，常设方程的点斜式，但如果只给出一个定点，一定不要遗漏斜率不存在的情况； （4）仅知道直线的横截距，常设方程形式：（其中是横截距，m是参数），注意此种设法不包含斜率为0的情况，且在后面要学的圆锥曲线章节中经常使用。 如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式（A,B不同时为0.) 【例5】　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 拓展2.利用直线方程判定直线的位置关系 【例6】　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 【变式】已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足 (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直． 拓展3.直线方程过定点问题 【例7】　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 【变式1】（2022秋•朝阳区期中）直线kx﹣y+1﹣3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点（　　） A．（3，1） B．（0，1） C．（0，0） D．（2，1） 【变式2】（2022秋•金水区校级期末）已知直线m：（a+2）x+（1﹣2a）y+4﹣3a＝0． （1）求证直线m过定点M； （2）过点M作直线n使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4，求直线n的方程． 【变式3】（2022秋•益阳期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【变式4】（2022秋•碑林区校级期末）设直线l的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）． （1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； （2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（xA，0），B（0，yB），当△AOB面积最小时，求△AOB的周长及此时的直线方程； （3）当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 拓展4.利用直线系方程求直