第05讲函数的性质讲义-2023-2024学年高一上学期期中数学复习

第05讲-函数的性质 1、 知识梳理 1.函数的单调性 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到。开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值)。 (2)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反。 (3)“对勾函数”y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单减区间是[－，0)，(0，]。 3.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [微点提醒] 1.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x：若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； 若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 2.对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称. 2、 经典例题 考点一　确定函数的单调性(区间) 【例1】如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( ) A．>0 B．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0 D．>0 【变式】函数的单调递增区间为( ) A． B． C． D． 规律方法　1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间， 2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性； (2)复合函数，遵循“同增异减”的原则. 考点二　求函数的最值　 【例2】若函数，则的值域为（ ） A． B． C． D． 规律方法　求函数最值的常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值. 考点三　函数单调性的应用 【例3】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． [思维升华] 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断. 2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性. 3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式. 考点四　判断函数的奇偶性 【例4】(1)f(x)＝＋； (3)f(x)＝ 【变式】设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 考点五　函数的周期性及其应用 【例5】 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f＝(　　) A.－ B.－ C. D. 考点六　函数性质的综合运用 【例6】已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增.设，当时，恒有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例7】定义在实数集上的偶函数满足，则____________. [方法技巧] 1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.利用函数奇偶性可以解决以下问题： (1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性. 3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用. [易错防范] 1.f(0)＝0既不是f