第十三章13.4 课题学习 最短路径问题（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教案（人教版）

13.4　课题学习　最短路径问题 13.4　课题学习　最短路径问题（第1课时） 教学目标 1.利用轴对称知识解决两点之间最短路径问题. 2.通过解决实际问题，培养问题转化能力. 教学重点难点 重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称、平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径. 难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理. 教学过程 导入新课 教师：我们已经学习过“两点的所有连线中，　　　　”和“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，　　　　”等问题，我们称它们为最短路径问题. 师生活动 教师提出问题，学生思考，调动学生学习的积极性，并引入新课. 探究新知 问题1：如图1所示，已知点A，B分别是直线l异侧的两点，如何在l上找到一个点，使得这个点到A，B两点的距离和最短？为什么？ 图1 师生活动 教师出示问题，学生积极思考，联系所学知识进行回答. 问题2：牧马人从图2中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？为什么？ 图2 师生活动 教师提出问题，学生思考并借助学案，尝试解决问题并说明理由，小组讨论交流，最后教师总结. 教师总结 如图3所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA+CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点. 图3 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+ CB< AC′+C′B如下： 证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 所以直线l是线段BB′的垂直平分线. 因为点C与C′在直线l上， 所以BC＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′， 所以AC+B′C<AC′+B′C′， 所以AC+BC<AC′+C′B. 会作探究 例　如图4所示，在直线l上找到一点C，使它到A，B两点的距离和最小. 图4 师生活动 学生独立思考，并尝试利用直尺和圆规在学案中解决问题.教师总结： 解：如图5所示： 图5 （1）作点B关于直线l的对称点B′； （2）连接AB′交直线l于点C； （3）则点C即为所求的点. 教师总结 运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 1.分析：如图6所示，利用轴对称作对称点. 图6 解：先作点B关于河岸的对称点，然后连接此对称点与点A，交河岸于点P，点P即为所求. 2.分析：如图7所示，可作出点A关于球桌边EF的对称点A1，连接BA1交EF于点O，点O即为所求的点. 图7 解：先作出点A关于球桌边EF的对称点A1，连接BA1交EF于点O.将球杆沿BOA1的方向撞击白球B，可使白球B先撞击球桌边EF，然后反弹后又能击中黑球A. 3.分析：（1）作点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与l交于点P，则点P就是所求点，也可作A关于l的对称点A′；（2）连接AB，并延长交直线l于点P. 解：（1）如图8所示，作点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与l交于点P，则点P就是所求点，此时，PA+PB最小； 　　　 图8　　　　　　　　　　　　　　图9　　 （2）如图9所示，连接AB，并延长交直线l于点P，此时，PA-PB最大. 课堂小结 （1）本节课学习了哪些内容？ （2）用于证明最短路径问题的定理有几个？ （3）解决最短路径问题，你有什么经验？说说看. 布置作业 教材第93页复习题13第15题. 板书设计 13.4　课题学习　最短路径问题（第1课时） 问题1 例　如图所示， 在直线l上找到一点C，使它到A，B两点的距离和最小. 问题2 （将军饮马） 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.4　课题学习　最短路径问题（第2课时） 教学目标 1.学会利用平移解决实际问题中“造桥选址”中的路径最短的问题. 2.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐. 教学重点难点 重点：将实际问题转化成数学问题，运用平移解决生活中路径最短的问题，确定出求最短路径的方法. 难点：探索发现“最短路径”的方案，确定造桥选址的作图及说理. 教学过程 导入新课 上节课我们利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节我们继续探究数学史中著名的“造桥选址问题”. 师生活动 教师“开门见山”引入新课. 探究新知 问题情境：如图1所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 问题1：这是一个实际问题，