第十三章13.3.2 等边三角形（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教案（人教版）

11.3.2　多边形的内角和（第1课时） 教学目标 1.经历验证四边形的内角和、n边形的内角和公式的形成过程. 2.会应用多边形的内角和公式进行简单的计算和说理. 3.通过将多边形问题转化为三角形问题解决，体验从特殊到一般的认识问题的方法，学会把多边形转化成三角形的转化思想，提升探索与归纳的能力. 4.通过对三角形和多边形之间的联系与区别的分析研究，培养学生辩证唯物主义观点和激发学生学习几何的兴趣. 教学重点难点 重点：探索多边形内角和公式. 难点：多边形内角和公式的推导. 教学过程 导入新课 师：大家都知道三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和大家知道吗？ 教师板书课题：多边形的内角和. 探究新知 活动一：探究四边形内角和. 学生：在独立探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法. 方法1：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发现内角和是360°. 方法2：把两个三角形纸板拼在一起构成四边形，发现两个三角形内角和相加是360°.接下来，教师在方法2的基础上引导学生利用作辅助线的方法，连接四边形的对角线，把一个四边形（如图1）转化成两个三角形.在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分成△ABC和△ACD两个三角形.由此可得∠DAB+∠B+∠BCD+ ∠D＝∠1+ ∠2+ ∠B+∠3+ ∠4+∠D＝（∠1+∠B+∠3）+（∠2+ ∠4+∠D）＝180°+180°＝360°，即四边形内角和等于360°. 图1 活动二：探究n边形内角和. 类比上面的过程，你能推导出五边形、六边形直至n边形的内角和各是多少吗？ 　 ①　　　　　　② 图2 通过分割成三角形，转化为利用三角形内角和求出. 1.通过思考、探究完成下表： 名称 图形 由一个顶点可引对角线的条数 由一个顶点所引出的对角线分成三角形的个数 内角和 四边 形 　　　　 　　　　 　　　　 五边 形 　　　　 　　　　 　　　　 续表　　 名称 图形 由一个顶点可引对角线的条数 由一个顶点所引出的对角线分成三角形的个数 内角和 六边 形 　　　　 　　　　 　　　　 … … … … … n边 形 　　　　 　　　　 　　　　 师问：你能归纳出n边形的对角线条数公式吗？ 生：n边形的对角线条数为. 师：同学们对此公式有疑问吗？ 教师可视学生回答情况给予如下提示：n可以是1或吗？ 注意：1.n的取值范围：n>3且n为正整数. 2.多边形的内角和随边数的增加而增加，而且是每增加一边，内角和增加180°. 活动三：继续探索多边形的内角和. 探索多边形的内角和关键是把多边形分成几个三角形，再利用三角形的内角和求得.你还有其他的分法吗？ （学生分组讨论后进行交流） 类比四边形的方式解决问题得出正确的结论，鼓励学生能否采用不同的方法. 学生：小组讨论，选代表发言，交流后，学生运用几何画板演示并验证得到的方法. 方法1：把五边形分成三个三角形，3个180°的和是540°（如图3）. 图3 方法2：从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形，然后用4个180°的和减去一个平角180°，结果得540°（如图4）. 图4 方法3：从五边形内部一点出发，把五边形分成五个三角形，然后用5个180°的和减去一个周角360°，结果得540°（如图5）. 图5 方法4：把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180°加上360°，结果得540°（如图6）. 师：你真聪明！做到了学以致用. 师总结：方法1利用n边形的内角和为（n-2）·180°； 方法2利用n边形的内角和为（n-1） ·180°-180°＝（n-2）·180°； 图6 方法3利用n边形的内角和为n·180°-360°＝（n-2）·180°. 新知应用 例1　如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 分析：先利用多边形内角和公式求出四边形的内角和后，再减去一组互补对角，即可求出另一组对角的关系. 解：如图7，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∵ ∠A+∠B+∠C+ ∠D＝（4-2）×180°＝360°，∴ ∠B+ ∠D＝360°-（∠A+∠C）＝180°. 图7 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 例2　已知五边形ABCDE是正五边形，求正五边形ABCDE每一个内角的度数. 分析：先利用多边形内角和公式计算出五边形的内角和，再根据正多边形的每个角都相等求出内角度数. 解：五边形的内角和是（5-2）×180°＝540°. 又五边形ABCDE是正五边形， 故正五边形每一个内角的度数为540°÷5＝108°. ∴ 正五边形每一个内角的度数为108°. 课堂练习（见导学案“当堂达标