第十三章13.3.1 等腰三角形（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教案（人教版）

13.3　等腰三角形 13.3.1　等腰三角形（第1课时） 教学目标 1.探索并证明等腰三角形的两个性质. 2.能利用性质证明两个角相等或两条线段相等. 3.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用. 教学重点难点 重点：探索并证明等腰三角形的性质. 难点：探索并证明等腰三角形的性质. 教学过程 导入新课 导入一：如图1所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？ 图1 师生活动 教师提出问题：仔细观察自己剪出的三角形纸片，你能发现这个三角形有什么特征吗？学生思考. 教师：同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？学生思考. 导入二：在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形. 问题：（1）三角形是轴对称图形吗？ （2）什么样的三角形是轴对称图形？ 学生组内讨论交流后，由代表给出结论，最后老师给出完整的问题结论： （1）有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是. （2）满足轴对称条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后，两部分能够完全重合的就是轴对称图形. 我们这节课就来认识一种轴对称图形——等腰三角形. 探究新知 问题1：在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？ 师生活动 学生动手操作，并思考教师提出的问题，小组讨论交流后汇报等腰三角形的性质；教师进一步补充总结等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. 问题2：利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2.对于性质1，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ （1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？ （2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？ （3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？ 师生活动 学生在教师的指导下对等腰三角形的性质1、性质2进行证明，教师巡视指导并总结. 图2 已知：如图2，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 教师追问 你还有其他方法证明性质1吗？ 总结： 要证角相等需要证明三角形全等，可以作底边上的高或顶角的平分线来构造全等三角形. 新知应用 问题3：性质2可以分解为三个命题，你能分别写出并证明吗？本节课证明“等腰三角形底边上的中线也是底边上的高和顶角的平分线”. 师生活动 学生分小组分别证明，教师注意辅导. 问题4：在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？ 师生活动 学生回顾证明过程，并思考问题4，教师总结等腰三角形具有什么特征：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 1.（1）35°，35°　（2）80°，20°或50°，50°　（3）7 （4）16或17 2.77°，38.5°　3.36° 4.解：（1）如图3，由题意知∠ABD＝40°. 在Rt△ADB中，∠A＝90°-∠ABD＝90°-40°＝50°. 　　　 图3　　　　　　　　　图4 　 （2）如图4，由题意知∠ABD＝40°. 在Rt△ABD中，∠DAB＝90°-40°＝50°， ∴ ∠BAC＝130°. ∴ 该等腰三角形顶角的度数为50°或130°. 5.证明：∵ AB＝AC，AD是高，∴ BC＝2BD. ∵ AD，BE是高，∴ ∠ADC＝90°，∠AEH＝∠BEC＝90°. ∴ ∠HAE+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°. ∴ ∠HAE＝∠CBE. 在△AHE和△BCE中， ∠HAE＝∠CBE，AE＝BE，∠AEH＝∠BEC， ∴ △AHE≌△BCE（ASA）.∴ AH＝BC. 又∵ BC＝2BD，∴ AH＝2BD. 6.证明：如图5，作AD平分∠BAC， 图5 ∴ ∠BAD＝∠CAD. ∵ AB＝AC，∴ AD⊥BC. ∵ EF⊥BC，故AD∥EF. ∴ ∠E＝∠BAD，∠CAD＝∠APE. ∴ ∠E＝∠APE，∴ AE＝AP. 课后提升 36　解析：根据“特征值”的定义，设该等腰三角形的顶角度数为x，则一个底角的度数为2x，所以x+2x+2x＝180°，解得x＝36°. 课堂小结 （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？ （3）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？