第十三章13.1.2线段的垂直平分线的性质 （配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教案（人教版）

13.1.2　线段的垂直平分线的性质 教学目标 1.理解线段的垂直平分线的性质和判定. 2.能运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题. 3.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的原理. 教学重点难点 重点：1.理解线段的垂直平分线的性质. 2.能运用线段的垂直平分线的判定解决实际问题. 难点：能运用线段的垂直平分线的判定解决实际问题. 教学过程 导入新课 导入一：通过上一节课的学习，我们知道轴对称图形的对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线.请思考：如图1，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A与点B的距离之间的数量关系. 　　　　 　　　　图1　　　　　 　 　　图2　 导入二：如图2，在马路某段的同侧，有两个工厂A，B，为了便于两厂的工人就医，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处. 探究新知 问题1：如图3，直线l垂直平分线段AB，在直线l上任取一点P，点P与线段AB 两个端点的距离相等吗？ 你能给出证明吗？怎么使用你发现的规律？ 师生活动 教师提出问题，学生独立思考，并对发现的规律进行合理的证明，然后学生分组交流，绘出答案，教师点拨并强调线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，最后引导学生进行证明. 已知：如图3所示，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上. 图3 求证：PA＝PB. 证明：∵ l⊥AB，∴ ∠PCA＝∠PCB. 在△PCA和△PCB中， ∴ △PCA≌△PCB（SAS）. ∴ PA＝PB. 问题2：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？如何证明？怎么使用你发现的规律？ 师生活动 教师提出问题，学生独立思考，教师统一答案：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 图4 已知：如图4所示，PA＝PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上. 证明：如图4，作PC⊥AB，垂足为点C，则∠PCA＝∠PCB＝90°. 在Rt△PCA和Rt△PCB中， ∵ PA＝PB（已知），PC＝PC（公共边）， ∴ Rt△PCA≌Rt△PCB，∴ AC＝BC. 又∵ PC⊥AB，∴ 点P在线段AB的垂直平分线上. 新知应用 如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线AB的垂线？ 师生活动 学生利用直尺和圆规练习线段垂直平分线的作法，教师巡回指导，统一演示.如图5所示. 图5 已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁. （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E. （3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. （4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 1.B　解析：由AC＝BC这一条件，只能证明点C在线段AB的垂直平分线上，不能说明点D 是线段AB的中点，也不能说明CD⊥AB.故选B. 2.B　3.A　4.A 5.解：在△ABC中，∵ ∠C＝90°， ∴ ∠CAB+∠B＝90°. 又∵ ∠CAB＝∠B+30°， ∴ ∠B+30°+∠B＝90°，即∠B＝30°. 又∵ ED垂直平分AB，∴ EA＝EB， 易证△AED≌△BED， ∴ ∠EAD＝∠B＝30°， ∴ ∠AEB＝180°-30°-30°＝120°. 6.解：∵ DE是AB的垂直平分线，∴ BE＝AE. ∴ △ACE的周长＝AE+EC+AC＝BE+CE+AC＝BC+AC＝20+12＝32（cm）. 7.解：（1）∵ AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC， ∴ △ABC≌△ADC（SSS）. （2）∵ AB＝AD，BC＝CD， ∴ 点A，C在线段BD的垂直平分线上. ∴ AC是线段BD的垂直平分线. 课堂小结 （1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段的垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是不是线段的垂直平分线？ 布置作业 教材第65~66页习题13.1第6，9，10，12题. 板书设计 13.1.2　线段的垂直平分线的性质 1.线段的垂直平分线的性质 2.线段的垂直平分线的判定 3.作图：过直线外一点，作已知直线的垂线 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$