第七章平行线的证明7.4平行线的性质（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教案（北师大版）

第七章 平行线的证明 4 平行线的性质 教学目标 1.掌握平行线的三个性质； 2.会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算； 3.通过对比，理解平行线的性质和判定的区别. 教学重难点 重点：理解并掌握平行线的性质公理和定理． 难点：能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明． 教学过程 导入新课 问题1:我们以前探究过的平行线的判定,平行线有哪些判定方法? （同位角相等，两直线平行; 内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行) 问题2:在上一节课中,我们证明了有关平行线的判定定理,那么对于平行线的性质,又怎么证明呢?能运用上节课积累的方法进行证明吗?今天这节课我们一起再来试一试证明它们. 探究新知 活动一:平行线的性质定理1 问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？ 问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 问题3：你能说说证明的思路吗？ 如图：已知直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角，求证：∠1=∠2. 【证明】假设∠1≠∠2，则过点O可作直线GH，使得∠EOH= ∠2. ∵ ∠EOH = ∠2,∴ 直线GH∥CD. 又∵ 直线AB∥CD,且AB、BH代表不同直线，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行” 相矛盾. ∴∠1≠∠2的假设不成立，∴ ∠1 =∠2. 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？ 两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补. 定理2：两直线平行，内错角相等. 如图：已知直线∥,∠1和∠2是直线、被直线截出的内错角，求证：∠1=∠2. 【证明】∵ l1∥l2(已知)， ∴ ∠1＝∠3(两条直线平行，同位角相等). ∵ ∠2＝∠3(对顶角相等)， ∴ ∠1=∠2(等量代换) . 定理3：两直线平行，同旁内角互补. 学生已有了相关证明的经验,放手让学生自我证明,全班交流,集体订正. 例1　如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD， AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何？ 【解】∠A= ∠ C, ∠B=∠D， 理由：∵AB∥CD（已知 ）， ∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 又 ∵ AD∥BC（已知）， ∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ B=∠D（同角的补角相等）. 同理，∠A=∠C. 例2　已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC. 【证明】∵ AB∥DC（已知）， ∴ ∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵ ∠B=∠D（已知）， ∴ ∠D+∠C=180°（等量代换）， ∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）. 例3　如图，b∥a,c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角.证明：b∥c . 【证明】∵b∥a (已知)， ∴ ∠2＝∠1 (两条直线平行，同位角相等). ∵ c∥a (已知), ∴ ∠3=∠1 (两直线平行，同位角相等). ∴ ∠2 =∠3 (等量代换)． ∴ b∥c (同位角相等，两直线平行)． 定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 议一议 完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？ 证明的一般步骤： 第一步：根据题意，画出图形． 先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达． 第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. 把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中． 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．　 课堂练习 1.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2＝80°，则∠1等于( ) A．120° B．110° C．100° D．80° 2.如图，已知∠1＝70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为( ) A．70° B．100° C．110° D．120° 3.如图，在△ABC中，∠B＝40°，过点C作CD∥AB，∠ACD＝65°，则∠ACB的度数为( ) A．60° B．65° C．70° D．75° 4.如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于( ) A．122° B．151° C．116° D．97° 5．已知：如图，AB∥DE，BC∥FE.求证：∠B＋∠E＝180°. 6．如图， E，G分别是AB,AC上的点，F，D是BC上的点，