第一章勾股定理1.3勾股定理的应用（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教案（北师大版）

第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 教学目标 1.利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题. 2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性. 教学重难点 重点：构建直角三角形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 难点：从实际问题中合理抽象出数学模型. 教学过程 导入新课 游乐场有一个圆柱形的大型玩具,如图所示,现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子,正好到达A点的正上方B点,已知圆柱形玩具的底面周长是12米,高AB为5米,那么梯子的长度是多少米? 探究新知 一、合作探究 【探究1】确定立体物体表面上两点之间的最短距离. 【例1】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？ 　　　　　　　 　　　　　　　 (2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？ 　　　 　　　 (3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ ∵ AB2 = 122+92，∴ AB = 15(cm). 答：蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm. 变式训练： 如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q,那么所用细线最短需要　　　　 _________cm.  答案：13 【探究2】应用勾股定理解决实际问题 【例2】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长. 【解】设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为（x-1）m. 在Rt△ACE中，∠AEC = 90°， 由勾股定理得AE2+CE2 = AC2， 即(x-1)2+32 = x2， 解得x = 5. 故滑道AC的长度为5 m. 变式训练：在一次消防演习中,消防员架起一架25米长的云梯,如图所示那样斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米. (1)这架云梯的顶端距地面有多高? (2)如果消防员接到命令,要把云梯的顶端下降4米(云梯长度不变),那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米? 解：(1)由题图可以看出云梯、墙、地面可围成一个直角三角形,即云梯为斜边,云梯底部到墙的线段为一条直角边,云梯顶端到地面的线段为另一条直角边. 根据题意252-72 = 242， 所以云梯顶端距地面有24米. (2)当云梯顶端下降4米后,云梯顶部到地面的距离为20米. 因为252-202 = 152,且15-7 = 8(米)， 所以云梯底部应水平滑动8米. 课堂练习 1.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，则问这根铁棒应有多长？ 2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为____. 3.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 4.如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂的吗？ 参考答案 1.解：如图，由题意得当铁棒在B处：AC = 1.5米，BC = 2米. ∵ AB2 = AC2+CB2 = 2.52， ∴ AB = 2.5米. ∵ 油桶外的部分是0.5米， ∴ AD = 2.5+0.5 = 3(米). 当铁棒垂直进入，得出油桶中的长度1.5米+桶外的0.5米= 2米. 答：这根铁棒的长度范围是2米到3米. 2.25 3.解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺. 根据题意得x²+5² =（x+1）². 解得x =12. x+1=12+1=13（尺）. 答：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺和13尺. 4.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由题意得 x2+82 = (16-x)2, 解得x = 6米. 答：旗杆在离底部6米的位置断裂. 课堂小结 确定立体物体表面上两点之间的最短距离的方法：将其转化为平面上两点间的距离，利用两点之间，线段最短来求解. 布置作业 习题1.4第1，2，3，4题 板书设计 3　勾股定理的应用 1.确定立