第一章勾股定理1.1探索勾股定理（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教案（北师大版）

第一章 勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时 勾股定理 教学目标 1.掌握直角三角形三边数量关系，学会用符号表示，学生在经历用数格子和割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单问题. 3.进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识，通过追溯勾股定理的历史，增强学生的爱国情感. 教学重难点 重点：勾股定理的探索及简单应用. 难点：勾股定理的探索. 教学过程 导入新课 如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？ 在直角三角形中，任意两条边确定了，另一条边也随之确定，三边之间存在一种特定的数量关系.事实上，古人已经发现了直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系，那么这种关系是什么？ 教师抛出两个问题，引发学生思考. 学生对两个问题很感兴趣，从而能够激发学生的探索欲望. 设计意图：从这两个问题入手，引入本节课的课题，这样更能激发学生学习的积极性，为学好本节课奠定基础. 探究新知 一、预习新知 让学生自主预习课本第2~3页，然后让学生拿出方格纸（课前准备好），在纸上画出若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，猜测三边长的平方之间有怎样的关系. 教师给学生足够的时间，让学生在小组内合作交流，教师适当引导，猜测直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 设计意图：让学生动手并通过计算直角三角形的三边长的平方，引导学生从中发现存在的规律，渗透特殊到一般的思想方法. 二、合作探究 问题1：请分别计算下面图中直角三角形三边长的平方是多少，它们满足上边所猜想的数量关系吗？ 问题2：用a，b，c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形搭成的直角三角形三边的平方关系是否和上面的猜测相同？ 问题3：对于课本中的图1-3中的直角三角形，是否也满足这样的关系？ 教师观察学生活动并指导，让学生充分发表自己的见解，展示他们的思维过程，教师及时点拨，同时借助多媒体动态展示. 设计意图：此环节让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，进一步体会数形结合思想，发展学生的合情推理能力. 问题4：以上直角三角形的边长都是整数的情况，对于边长是小数的情况是否也成立？（例如两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度） 学生动手在网格纸上画直角三角形，然后测量斜边的长度，进行计算，教师及时点拨. 教师进一步借助几何画板演示直角边为任意长的直角三角形的三边关系，得出一般直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方，从而发现了勾股定理. （学生总结，教师点评） 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 巩固练习 下列说法中正确的是(　　) A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2 = c2 B．在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C = 90°，则a2+b2 = c2 D．在Rt△ABC中，∠B = 90°，则a2+b2 = c2 答案：C 典型例题 【例1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长． 【问题探索】CD是△ABC的高，要求CD的长，AB的长已知，如果能求出三角形ABC的面积就好办了． 【解】∵ 在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 3 cm， ∴ 由勾股定理，得AC2 = AB2－BC2 = 52－32 = 16 = 42， ∴ AC = 4 cm. 又∵ S△ABC = AB·CD = AC·BC， ∴ CD = = = (cm)． 【总结】由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积，这个规律常与勾股定理联合使用． 【例2】在△ABC中，AB = 20，AC = 15，AD为BC边上的高，且AD = 12，求△ABC的周长． 【问题探索】应考虑高AD在△ABC内和△ABC外两种情形． 【解】当高AD在△ABC内部时，如图1. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2-AD＝ 202-122＝162， ∴ BD＝16. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 CD2＝AC2-AD2＝152-122＝92， ∴ CD＝9. ∴ BC＝BD+CD＝25， ∴ △ABC的周长为25+20+15＝60. 当高AD在△ABC外部时，如图2. 同理可得BD＝16，CD＝9， ∴ BC＝BD-CD＝7， ∴ △ABC的周长为7+20+15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.