专题06一元二次方程根的判别式（3个知识点3种题型1种中考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年八年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

专题06一元二次方程根的判别式（3个知识点3种题型1种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.一元二次方程根的判别式 知识点2.一元二次方程根的判别式的应用 知识点3.一元二次方程的根与系数的关系 【方法二】 实例探索法 题型1.不解方程，判别方程根的情况 题型2.一元二次方程根的判别式的应用 题型3.根与系数关系的应用 【方法三】 仿真实战法 考法1.根的判别式 【方法四】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 【例1】（2021·上海市康城学校八年级期末）在下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）． A． B． C． D． 知识点2.一元二次方程根的判别式的应用 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【例2】（2020·上海松江·八年级期末）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是___________． 【变式】（2020·上海市育才初级中学）关于的方程有两个相等的实数根，则_______． 知识点3.一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【例3】（2021秋•普陀区校级月考）阅读下列材料：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）我们知道当△＝b2﹣4ac≥0时，这个方程的两个实数根可以表示为x1＝，x2＝；此时两根之和为：x1+x2＝，两根之积为：x1•x2＝． 这就是一元二次方程的根与系数关系定理： 如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝，利用一元二次方程的根与系数关系定理我们不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积． 例如，已知x1，x2分别为一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两根， 则x1+x2＝﹣，x1x2＝＝＝﹣． 回答下列问题： （一）已知x1，x2分别是一元二次方程﹣x2＝x﹣4的两根，则 x1+x2＝　　 ，x1•x2＝　　 ，x12+x22＝　 　，+＝　　 ． （二）已知关于x的方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根分别为x1，x2． （1）若x1，x2满足（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝1，则k＝　 　； （2）当+﹣2的值为整数时，求整数k的值． 【变式】（2021秋•杨浦区校级期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由． 【方法二】实例探索法 题型1.不解方程，判别方程根的情况 1．不解方程，判断方程根的情况： （1）4y（4y﹣6）+9=0． （2）2y2+5y+6=0． （3）2x2=3x+1． 2.已知关于的方程．不解方程，判断该方程根的情况； 题型2.一元二次方程根的判别式的应用 3．（2020·上海外国语大学附属双语学校八年级期中）已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根． （2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求方程的解． 4．（2020·上海金山区·八年级期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根． 5．（2020·上海闵行区·）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值； （3）如果方程没有实数根，求m的取值范围； 6．（2020·上海市育才初级中学）已知关于的方程，当取何值时，此方程 （1）有两个不相等的实数根； （2）没有实数根． 7．（2020·上海浦东新区·八年级期中）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两根，求m的值． 8.已知a、b、c为三角形的三边，求证：方程a2x2(a2+c2b2)x+c2=0没有实数根. 9.已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0. (1)不解方程，判断方程