第2章 6.1 第一课时 函数的单调性与导数（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

6．1　函数的单调性 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性． 3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 重点 难点 重点：函数单调性与导数关系的应用． 难点：理解函数的单调性与导数的关系. 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： (1)若在某个区间上，函数y＝f(x)的导数f′(x)＞0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递增； (2)若在某个区间上，函数y＝f(x)的导数f′(x)＜0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递减． (3)若在某个区间上，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间上，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递减． (1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．也就是说，在某区间上f′(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． (2)利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题 ①定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． ②注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． ③单调区间的表示：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开. ________________________________________________________________________ 1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　 ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 解析：选D　∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，故选D. 2．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　 ) A．(－1,1] B．(0,1) C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：选B　函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′＜0，则可得0＜x＜1. 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　 ) A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 解析：选B　由题图可知，函数f(x)在(1,5)内单调递减，则在(1,5)内有f′(x)<0，故f′(3)<0. 第一课时　函数的单调性与导数 ——————————————————————————————————利用导数判断或证明函数的单调性 —————————————————————————————————————— [典例1]　求证：f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数． [证明]　∵f(x)＝ex＋，∴f ′(x)＝ex－e－x＝e－x(e2x－1)，当x∈(0，＋∞)时，由指数函数的性质知e－x>0，e2x>1，∴f ′(x)>0，因此函数f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数． [方法技巧] 利用导数判断或证明函数单调性的思路 [对点训练] 1．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　 ) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 解析：选A　∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 2．设函数f(x)＝＋ln x(x＞0)，求f(x)的单调区间． 解：因为f(x)＝＋ln x(x＞0)， 所以f′(x)＝－＋＝(x＞0)． 令f′(x)＜0，得0＜x＜，令f′(x)＞0，得x＞， 所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. ——————————————————————————————————利用导数求函数的单调区间 —————————————————————————————————————— [典例2]　确定下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x3－9x2＋24x； (2)f(x)＝(x>0且x≠1)． [解]　(1)f′(x)＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)， 由f′(x)>0，得x<2或x>4；由f′(x)<0，得2<x<4. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋