第2章 5 简单复合函数的求导法则（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§5　简单复合函数的求导法则 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.掌握复合函数的求导法则． 2．能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． →→ 重点 难点 重点：利用复合函数的求导公式求导数． 难点：对复合函数求导公式的理解. 1．复合函数的概念 对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为 yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)． 使用复合函数求导法则的注意事项 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量． (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin 2x)′＝2cos 2x，不能得出(sin 2x)′＝cos 2x. (3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y＝sin的导数，设y＝sin u，u＝2x＋，则y′x＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos. (4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写． 1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　 ) A．y＝un，u＝x2－1　　　　 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 解析：选A　由复合函数求导法则知A正确． 2．设函数f(x)＝(1－2x)10，则f′(1)＝(　 ) A．0　　　　 B．－1 C．－20　　　　 D．20 解析：选D　因为f′(x)＝10(1－2x)9×(－2)＝－20(1－2x)9，所以f′(1)＝20. —————————————————————————————————— 复合函数的导数 —————————————————————————————————————— [典例1]　求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝cos x2； (3)y＝sin；(4)y＝. [解]　(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝. (2)令u＝x2，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin x2. (3)令u＝2x－，则y＝sin u， 所以y′x＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos. (4)令u＝1＋x2，则y＝u， 所以y′x＝y′u·u′x＝u－·2x＝x·u－＝ . [方法技巧]　求复合函数的导数的步骤 [对点训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝(x2－4)2；(2)y＝log2(2x2＋3x＋1)； (3)y＝esin(ax＋b)． 解：(1)y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x＝4x3－16x. (2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′ ＝·(2x2＋3x＋1)′ ＝. (3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)·cos(ax＋b)·(ax＋b)′＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)． —————————————————————————————————— 复合函数与导数的运算法则的综合应用 —————————————————————————————————————— [典例2]　求下列函数的导数． (1)y＝； (2)y＝x； (3)y＝xcossin. [解]　(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝， ∴y′＝ ＝＝. (2)y′＝(x)′＝x′＋x()′ ＝＋＝. (3)∵y＝xcos sin ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－x sin 4x， ∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x×4＝－sin 4x－2xcos 4x. (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的． (2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，开始由外及内逐层求导．　　 [对点训练] 2．求下列函数的导数． (1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sin x3； (3)y＝；(4)y＝xln(1＋x)． 解：(1)∵y＝， ∴y′＝′＝sin x. (2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x