第2章 4 导数的四则运算法则（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§4　导数的四则运算法则 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 2．进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用． 重点 难点 重点：导数的四则运算及运用． 难点：利用导数四则运算解决综合问题. 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 和(或差) 的导数 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 积的 导数 [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 特别地，[kf(x)]′＝kf′(x)，k∈R 商的 导数 ′＝， g(x)≠0 1．公式推广 函数和、差导数可以推广到n个函数 设f1(x)，f2(x)，…，fn(x)在x处可导，则[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)． 2．结构特征 积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”． 1．设y＝－2exsin x，则y′等于(　 ) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 解析：选D　∵y＝－2exsin x，∴y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x)． 2．函数y＝的导数是(　 ) A．－ B．－sin x C．－ D．－ 解析：选C　y′＝′＝ ＝＝－. 3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则实数a＝________. 解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝. 答案： —————————————————————————————————— 利用导数四则运算法则求导数 ——————————————————————————————————————[典例1]　求下列函数的导数． (1)y＝x4－2x2－3x＋3； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝xtan x. [解]　(1)y′＝(x4－2x2－3x＋3)′＝4x3－4x－3. (2)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11. 法二：因为(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6. 所以y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (3)y′＝(xtan x)′＝′ ＝ ＝＝. 求函数导数的策略 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． [对点训练] 1．若函数f(x)＝在x＝a处的导数值与函数值互为相反数，则a的值为________． 解析：∵f(x)＝，∴f(a)＝，又∵f′(x)＝′＝，∴f′(a)＝. 由题意知f(a)＋f′(a)＝0，∴＋＝0，∴2a－1＝0，∴a＝. 答案： 2.分别求下列函数的导数． (1)y＝x·sin x·ln x； (2)y＝x3ex； (3)y＝x－sin cos . 解：(1)y′＝(x·sin x·ln x)′＝[(x·ln x)·sin x]′ ＝(x·ln x)′·sin x＋(x·ln x)·(sin x)′ ＝·sin x＋(x·ln x)·cos x ＝sin x＋ln x·sin x＋x·ln x·cos x. (2)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex. (3)因为y＝x－sin x，所以y′＝x′－(sin x)′＝1－cos x. —————————————————————————————————— 导数四则运算法则的应用 —————————————————————————————————————— [典例2]　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． [解]　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x