第2章 3 导数的计算（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§3　导数的计算 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2．能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题． 重点 难点 重点：基本初等函数的导数公式及其运用． 难点：基本初等函数的导数公式的推导. 　　　　　　　　　　　　 1．导函数 如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝ ，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′. 2．导数公式表 函数 导数 函数 导数 y＝c (c是常数) y′＝0 y＝sin x y′＝cos_x y＝xα (α为实数) y′＝αxα－1 y＝cos x y′＝－sin_x y＝ax (a>0，a≠1) y′＝axln_a 特别地(ex)′＝ex y＝tan x y′＝ y＝loga x (a>0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝ 关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数． (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数． 1．若f(x)＝，则f ′(1)等于(　 ) A．0 B．－ C．3 D. 解析：选D　因为f(x)＝，则f ′(x)＝x－，所以f ′(1)＝. 2．已知f(x)＝cos 30°，则f ′(x)的值为(　 ) A．－ B. C．－ D．0 解析：选D　∵f(x)＝cos 30°＝，∴f ′(x)＝0. 3．已知函数f(x)＝x3，f ′(x)是f(x)的导函数，若f ′(x0)＝12，则x0＝(　 ) A．2 B．－2 C．±2 D．± 解析：选C　依题意f ′(x)＝3x2，故3x＝12，解得x0＝±2. ——————————————————————————————————用导数公式求函数的导数 —————————————————————————————————————— [典例1]　求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝－2sin. [解]　(1)∵y＝＝x， ∴y′＝x－. (2)∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6. (3)∵y＝＝＝x，∴y′＝x. (4)原函数可化为 y＝－2sin ＝sin x， ∴y′＝cos x. 求简单函数导函数的两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 　　 [对点训练] 1．求下列函数的导数： (1)y＝6x；(2)y＝x2；(3)y＝cos2－sin2. 解：(1)y′＝(6x)′＝6xln 6. (2)y′＝(x2)′＝(x)′＝x－1＝x. (3)∵y＝cos2－sin2＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. —————————————————————————————————— 利用导数公式研究切线问题 —————————————————————————————————————— [典例2]　过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率． [解]　因为(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0, ex0)， 则过该切点的直线的斜率为ex0， 所以切线方程为y－ex0＝ex0 (x－x0)． 因为切线过原点，所以－ex0＝－x0·ex0，x0＝1. 所以切点为(1, e)，切线斜率为e. [拓展] 1．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 解析：∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2. 当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1. ∴所求三角形的面积为S＝×1×|－e2|＝e2. 答案：e2 2．已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离. 解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′＝1. y′＝(ex)′＝ex，ex0＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)． 利用点到直线的距离公式得距离为. 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某