第2章 2.2 导数的几何意义（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

2.2　导数的几何意义 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 2．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 重点 难点 重点：导数几何意义的应用． 难点：对导数几何意义的理解. 　　　　　　　　　　 1．曲线的切线定义 设函数y＝f(x)的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切．该切线的斜率就是函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义． 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)函数y＝f(x)在x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(　 ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　 ) (3)“直线l与曲线C相切”是“l与C有一个交点”的必要不充分条件．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线方程为(　 ) A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x＋1 D．y＝－2x 答案：B 3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(　 ) A．4　　　 B．－4 C．－2　　　 D．2 答案：D —————————————————————————————————— 对导数的几何意义的理解 —————————————————————————————————————— [典例1]　(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　 ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 (2)函数f(x)在x＝4处的切线方程为y＝3x＋5，则f(4)＋f′(4)＝(　 ) A．10 B．20 C．30 D．40 [解析]　(1)由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由题图可知f′(xA)<f′(xB)． (2)因为f(4)＝3×4＋5＝17，又在x＝4处的导数为f′(4)＝3，所以f(4)＋f′(4)＝20. [答案]　(1)B　(2)B 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小．　　 [对点训练] 1.函数f(x)的图象如图所示，则(　 ) A．f′(1)>f′(2)>f′(3) B．f′(2)>f′(1)>f′(3) C．f′(3)>f′(2)>f′(1) D．f′(3)>f′(1)>f′(2) 解析：选C　由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1)． 2.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝(　 ) A．－3 B．－2 C．2 D．1 解析：选D　由题可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则切线l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1. ——————————————————————————————————利用导数的几何意义求切线方程 ——————————————————————————————————————[典例2]　已知曲线y＝x3＋，求曲线在点P(2,4)处的切线方程． [解]　∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上， ∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为 k＝ ＝ ＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. [拓展] 　本例曲线方程不变，求曲线过点P(2,4)的切线方程． 解：设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为 k＝ ＝x. ∴切线方程为y－＝x(x－x0)， 即y＝x·x－x＋. ∵点P(2,4)在切线上， ∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0. ∴x＋x－4x＋