第2章 2.1 导数的概念（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

2．1　导数的概念 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解导数概念的实际背景，掌握导数的概念． 2．会利用导数的概念求函数在某点处的导数． 重点 难点 重点：会求函数在某点处的导数． 难点：对导数概念的理解. 1．导数的定义 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为 ＝＝. 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率． 在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示． 2．记法 f′(x0)＝ ＝ . (1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． (3)导数的实质是一个极限值． 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．(　 ) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(　 ) (3)设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，当Δx趋近于0时，x趋近于x0，所以f′(x0)＝ ＝ .(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．若f(x)＝，则f′(1)等于(　 ) A．1 B．－1 C. D．－ 解析：选B　∵＝＝， ∴f′(1)＝ ＝ ＝－1. 3．(多选)下列各式正确的是(　 ) 解析：选AD　 ＝ ＝f′(x0)，故D正确．易知A正确． 4．已知f(x)是定义在R上的可导函数，若 ＝，则f′(2)＝(　 ) A．－1 B．－ C．1 D. 答案：D 5．若函数f(x)＝x2，则 ＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　因为f(x)＝x2， 所以 ＝＝＝(2＋Δx)＝2. —————————————————————————————————— 导数的概念 —————————————————————————————————————— [典例1]　设f(x)在x0处可导，则 等于(　 ) A．－4f′(x0) B．f′(x0) C.f′(x0) D．4f′(x0) [解析]　 ＝4 ＝4f′(x0)，故选D. [答案]　D 利用导数定义解题时，应充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同． [对点训练] 1．设函数f(x)在x＝x0处可导，以下有关 的值的说法正确的是(　 ) A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关而与h无关 C．仅与h有关而与x0无关 D．与x0，h均无关 解析：选B　导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与h无关． 2．若f′(x0)＝－2，则 ＝(　 ) A．－12 B．－9 C．－6 D．－3 解析：选C　因为f′(x0)＝－2， 所以 ＝3· ＝3 ＝3f′(x0)＝－6. —————————————————————————————————— 求函数在某点处的导数 —————————————————————————————————————— [典例2]　根据导数的定义，求下列函数的导数． (1)求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数； (2)求函数y＝在x＝2处的导数． [解]　(1)因为Δy＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx＋(Δx)2， 所以＝＝2＋Δx. 所以f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2. (2)因为Δy＝－， 所以＝＝＝. 所以f′(2)＝ ＝ ＝. 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤 (1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)取极限，得导数f′(x0)＝ .　　 [对点训练] 3．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　 ) A．－4 B．2 C．－2 D．±2 解析：选D　因为＝＝＝， 所以f′(m)＝ ＝－. 所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2. 4．求函数y＝x－在x＝1处的导数． 解：∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，∴＝＝1＋. ∴ ＝ ＝2， 从而当x＝1时，y′＝2. ————————————————————————————————