第2章 1 平均变化率与瞬时变化率（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

　 §1　平均变化率与瞬时变化率 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解平均变化率和瞬时变化率的意义． 2．领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，直观感受极限思想． 重点 难点 重点：求函数的平均变化率和在某一点的瞬时变化率． 难点：理解平均变化率与瞬时变化率的关系. 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝. 通常把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝. 函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快． 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(　 ) A．4 B．4x C．4.2 D．4.02 答案：C 2．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝(　 ) A．－3 B．2 C．3 D．－2 答案：C 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝.如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率． 平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度． 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)Δx趋于0时，表示Δx＝0.(　 ) (2)平均变化率与瞬时变化率可能相符．(　 ) (3)瞬时变化率刻画函数在某一点处变化的快慢．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为(　 ) A．1 B．3 C．－1 D．0 答案：B —————————————————————————————————— 求运动物体的平均速度 —————————————————————————————————————— [典例1]　已知一物体的运动方程为f(t)＝3t2＋5，求： (1)f(t)从0.1到0.2的平均速度； (2)f(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均速度． [解]　(1)因为f(t)＝3t2＋5，所以从0.1到0.2的平均速度为 ＝0.9. (2)f(t0＋Δt)－f(t0)＝3(t0＋Δt)2＋5－(3t＋5)＝3t＋6t0Δt＋3(Δt)2＋5－3t－5＝6t0Δt＋3(Δt)2. 函数f(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均速度为 ＝6t0＋3Δt. [方法技巧] 求运动物体的平均速度的步骤 第一步，求时间的改变量Δx＝x2－x1； 第二步，求位移的变化量Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均速度＝. [对点训练] 1.如图所示，某物体的运动方程y＝f(x)在A，B两点间的平均速度等于(　 ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选B　平均速度为＝－1. 2．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是(　 ) A.＝＝　 B.＝ C.＝ D.＝ 解析：选A　由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以＝＝. —————————————————————————————————— 函数的平均变化率 —————————————————————————————————————— [典例2]　求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． [解]　当自变量从x0到x0＋Δx，函数的平均变化率为＝ ＝ ＝ ＝3x＋3x0·Δx＋(Δx)2. [方法技巧] 求函数平均变化率的三个步骤 第一步：求自变量的改变量x2－x1； 第二步：求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； 第三步：求平均变化率. [对点训练] 3．已知函数f(x)＝－x2＋1