第1章 5 数学归纳法（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

*§5　数学归纳法 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解数学归纳法的原理．2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单问题． 重点难点 重点：理解数学归纳法的简单应用． 难点：对数学归纳法的理解. 数学归纳法的定义 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　 ) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　 ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则n＝1时，f(n)＝(　 ) A．1　　　　　　　　　 B． C．1＋＋ D．以上答案均不正确 答案：C 3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有______________． 答案：f(2n)＞ ———————————————————————————————— 用数学归纳法证明等式 —————————————————————————————————————— [典例1]　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)． [证明]　①当n＝1时，左边＝1－＝， 右边＝＝，左边＝右边． ②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立， 即1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋， 则当n＝k＋1时， ＋ ＝＋ ＝＋＋…＋＋. 即当n＝k＋1时，等式也成立． 综合①②可知，对一切n∈N＋，等式成立． [方法技巧] 用数学归纳法证明恒等式应注意的三点 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．　　 [对点训练] 1．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)(n∈N＋)． 证明：①当n＝1时，左边＝12，右边＝×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)， 则当n＝k＋1时， 12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2 ＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2 ＝k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2 ＝(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)] ＝(2k＋1)(2k2＋5k＋3) ＝(2k＋1)(k＋1)(2k＋3) ＝(k＋1)(4k2＋8k＋3) ＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]， 即当n＝k＋1时，等式成立． 由①②可知，对一切n∈N＋等式成立． ———————————————————————————————— 归纳—猜想—证明 [典例2]　已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和且Sn是2a与－2nan的等差中项，其中a是不为0的常数． (1)求a1，a2，a3； (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明． [解]　(1)由题意知Sn＝a－nan， 当n＝1时，S1＝a1＝a－a1，解得a1＝. 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝a－2a2，解得a2＝. 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝a－3a3，解得a3＝. (2)猜想：an＝(n∈N＋)． 证明：①当n＝1时，由(1)知等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立， 即ak＝，则当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝a－(k＋1)ak＋1－(a－kak)， 所以ak＋1＝＝. 即当n＝k＋1时，等式成立． 结合①②得an＝对任意n∈N＋均成立． [方法技巧] 1．“归纳—猜想—证明”的一般环节 2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．　　 [对点训练] 2．数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明． 解：∵a2＝，且an＋1＝(n≥2)， ∴a3＝＝＝，a4＝＝＝. 猜想：an＝(n∈N＋)． 下面用数学