第1章 3.2 第二课时 等比数列的前n项和的应用及数列求和（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第二课时　等比数列的前n项和的应用及数列求和 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握四种数列求和的方法． 重点 难点 重点：数列的前n项和． 难点：等比数列前n项和的实际应用. ———————————————————————————————— 等比数列前n项和的实际应用 —————————————————————————————————————— [典例1]　一个皮球从距地面为H的地方释放，经地面反弹最后上升至处，之后每次反弹后上升的最高高度为上一次反弹的一半，若该皮球从开始释放至第五次接触地面瞬间，在空中的运动轨迹长为10米，求H的值． [解]　根据题意，皮球第n次接触地面至第n＋1次接触地面的运动轨迹长度满足一个以首项a1＝H，公比q＝的等比数列{an}， 故皮球从开始释放至第五次接触地面，在空中的运动轨迹长度为： a1＋a2＋a3＋a4＋H＝＋H＝H， 由题可知，H＝10，解得H＝. [方法技巧] 应用等比数列前n项和公式解决实际问题的步骤 (1)构建数列模型； (2)由题设确定数列为等比数列，并求公比q，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出公比q； (3)利用等比数列前n项和公式进行计算． 注意：①数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份；②正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和．　　 [对点训练] 1.如图，已知△ABC的面积为4，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2 020个三角形的面积为(　 ) A. B． C. D． 解析：选B　观察题图可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的，设第n个三角形的面积为an，则数列{an}是首项为a1＝4，公比为的等比数列， ∴an＝4×n－1＝n－2，∴第2 020个三角形的面积为a2 020＝2 018＝. ———————————————————————————————— 分组法求和 —————————————————————————————————————— [典例2]　在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋＝211－2＋55 ＝211＋53＝2 101. [方法技巧] 分组法求数列的前n项和的方法技巧 如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和，求其前n项和需要先分组再利用公式求和．　　 [对点训练] 2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　 ) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 解析：选C　∵an＝2n＋2n－1，设bn＝2n，cn＝2n－1，易知{bn}为等比数列，{cn}为等差数列，且b1＝2，q＝2，c1＝1.则数列{an}的前n项和为＋＝2n＋1－2＋n2. 3．(2021·新课标Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式． (2)求{an}的前20项和． 解：(1)由题意，得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5. 易得a2n＋2＝a2n＋1＋1，a2n＋1＝a2n＋2， 所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3， 所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1. (2)由(1)可得a2n＝3n－1，a2n－1＝a2n－2＋2＝bn－1＋2＝3n－2. 所以a19＝3×10－2＝28，a20＝3×10－1＝29. 所以{an}的前20项的和为(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝×10＋×10＝300. ———————————————————————————————— 裂项相消法求和 —————————————————————————————————————— 几种常见的裂项方式 数列(n为正整数) 裂项方式 (k为非零常数) ＝ ＝ ＝－ (a>0，a≠1) loga＝loga(n＋1)－logan [典例3]　已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2