第1章 2.1 第一课时 等差数列的概念及其通项公式（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

　2.1　等差数列的概念及其通项公式 第一课时　等差数列的概念及其通项公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2．理解等差数列通项公式的意义． 重点 难点 重点：等差数列通项公式的应用． 难点：理解等差数列的概念及等差数列通项公式的应用. 一等差数列的定义 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示，且an－an－1＝，n∈N＋. 对等差数列概念的解读 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 1. 判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)常数列是等差数列．(　 ) (2)－1，－2，－3，－4，－5不是等差数列．(　 ) (3)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．已知等差数列{an}中，a1＝3，a6＝13，则{an}的公差为(　 ) A. B．2 C．10 D．13 答案：B 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 1．等差数列通项公式与一次函数的关系： 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列． 2．等差数列通项公式中的四个参数及其关系： 等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d 四个参数 a1，d，n，an “知三求一” 知a1，d，n求an 知a1，d，an求n 知a1，n，an求d 知d，n，an求a1 1．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为(　 ) A．an＝3n－1 B．an＝2n＋1 C．an＝2n＋3 D．an＝3n＋2 解析：选A　an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1. 2．已知等差数列{1－3n}，则公差d等于(　 ) A．1 B．3 C．－3 D．n 解析：选C　∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3. ———————————————————————————————— 等差数列的基本运算 [典例1]　在等差数列{an}中， (1)已知a1＝3，d＝2，n＝6，求an； (2)已知a1＝1，d＝2，an＝15，求n； (3)已知a1＝，n＝5，an＝8，求d； (4)已知d＝－，n＝12，an＝－8，求a1. [解]　(1)因为数列{an}为等差数列，a1＝3，d＝2，n＝6， 所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1. 所以a6＝2×6＋1＝13. (2)因为数列{an}为等差数列，a1＝1，d＝2，an＝15， 所以15＝1＋(n－1)×2，解得n＝8. (3)因为数列{an}为等差数列，a1＝，n＝5，an＝8， 所以a5＝＋(5－1)d＝8， 解得d＝. (4)因为数列{an}为等差数列， d＝－，n＝12，an＝－8， 所以a12＝a1＋(12－1)×＝－8， 解得a1＝. [方法技巧] 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．　　 [对点训练] 1．在等差数列{an}中， (1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an； (2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n； (3)已知a1＝12，a6＝27，求d； (4)已知d＝－，a7＝8，求a1和an. 解：(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29. (2)由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10. (3)由a6＝a1＋5d，得12＋5d＝27，解得d＝3. (4)由a7＝a1＋6d，得a1－2＝8，解得a1＝10. 所以an＝a1＋(n－1)d＝10－(n－1)＝－n＋. ———————————————————————————————— 等差数列的应用 —————————————————————————————————————— [典例2]　(1)在等差数列{an}中，首项a1＝1，从第10项