第1章 2.1 第二课时 等差数列的性质及应用（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第二课时　等差数列的性质及应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解等差中项的概念，了解等差数列的有关性质． 2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 重点 难点 重点：等差数列的实际应用及其性质的应用． 难点：等差数列性质的应用. 1．等差数列的增减性 对于an＝dn＋(a1－d)， (1)当d＞0时，数列{an}为递增数列； (2)当d＜0时，数列{an}为递减数列； (3)当d＝0时，数列{an}为常数列． 2．等差中项 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，且A＝.在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项． 3．等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋(n－1)d (揭示首末两项的关系) an＝am＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系) (2)项的运算性质 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 4．等差数列的性质 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列 {c·an} 公差为cd的等差数列 {an＋an－k} 公差为2d的等差数列 {pan＋qbn} 公差为pd1＋qd2的等差数列 1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4等于(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C　 a3＋a4＋a5＝3a4＝12，a4＝4. 2．等差数列{an}中，a3＝7，a7＝－5，则公差d＝(　 ) A．3 B．－3 C．2 D．－2 解析：选B　由题意得4d＝a7－a3＝－5－7＝－12，所以d＝－3. 3．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是(　 ) A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列 解析：选D　(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19，即数列{an＋bn}是公差为19的等差数列． 4．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列． 解析：(an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d. 答案：3d ———————————————————————————————— 等差中项及应用 —————————————————————————————————————— [典例1]　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． [解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7. [方法技巧] 等差中项的计算 (1)条件：若A是a与b的等差中项． (2)计算公式：A＝.　　 [对点训练] 1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________． 解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得m＋n＝6. 所以m和n的等差中项为＝3. 答案：3 2.已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列． 证明：∵，，成等差数列， ∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)． ∵＋＝＝＝＝＝， ∴，，成等差数列． ———————————————————————————————— 等差数列性质的应用 —————————————————————————————————————— [典例2]　(1)若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75； (2)等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝187，求a1和d； (3)已知{an}是等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值． [解]　(1)∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列，设其公差为d′， 则a60＝a15＋3d′＝8＋3d′＝20，解得d′＝4. ∴a75＝a60＋d′＝24. (2)∵a4＋a5＋a6＋a7＝2(a4＋a7)＝56， ∴a4＋a