“4翼”检测评价（4）空间向量基本定理（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（四） 空间向量基本定理 (一)基础落实 1．(多选)在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一个基底，则下列说法正确的是(　 ) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 解析：选ACD　A正确，若四点共线，则，，共面，构不成基底；B错误，C正确，若四点共面，则，，共面，构不成基底；D正确，若有三点共线，则这四点共面，，，构不成基底． 2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　 ) A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c 解析：选C　因为a，b，c不共面，故a,2b，b－c也不共面，能构成空间的一个基底．其他选项皆共面． 3.如图，四棱锥P­OABC的底面是矩形，若＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，则(　 ) A.＝－a－b＋c B.＝－a－b＋c C.＝－a＋b＋c D.＝－a－b－c 解析：选B　∵四棱锥P­OABC的底面是矩形，＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，∴＝＋＝－＋＝－a＋(＋)＝－a＋(－＋)＝－a－b＋c. 4．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为(　 ) A.，－1，－ B.，1， C．－，1，－ D.，1，－ 解析：选A　由题意，知d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又d＝e1＋2e2＋3e3，所以解得 5.如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(　 ) A．0　　B.　　C.　　D. 解析：选A　取{，，}为空间的一个基底．根据题意，可得·＝(＋＋)·(＋＋)＝·＝2－2－2＝×4－1－×4＝0，所以和垂直，即A1E⊥GF，故A1E与GF所成角的余弦值为0. 6.在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，用基底{a，b，c}表示下列各向量： (1)＝________； (2)＝________. 解析：连接AC，AD′(图略)． (1)＝＝＝(a＋b＋c)．(2)＝＝(＋2＋)＝a＋b＋c. 答案：(1)(a＋b＋c)　(2)a＋b＋c 7．在正四面体PABC中，M是PA上的点，且PM＝2MA，N是BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为________． 解析：如图所示，连接PN，AN.＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋，∴x＝－，y＝，z＝.∴x＋y＋z＝. 答案： 8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，若B1C和BC1相交于点M.则||＝(　 ) A. B．2 C. D. 解析：选D　依题意可知M是BC1的中点，所以＝(＋)＝＋＝(＋＋＝＋＋，所以||＝＝(＋＋)2 ＝(2＋2＋2＋2(·＋·＋·)) ＝(4＋4＋4＋2(2×2×cos 60°×3))＝6.＝ 9.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，用向量，，表示. 解：因为MN＝ON，M是棱BC的中点，所以＝＝×(＋)＝＋，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋＝＋＋. (二)综合应用 10．(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE不垂直的有(　 ) A．AC B．BD C．A1D D．A1A 解析：选ACD　＝－＝＋－－＝－－，＝＋，＝－，＝－∴·＝－2－2≠0，·＝2－2＝0，·＝－2－2≠0，·＝2≠0，∴与CE不垂直的有AC，A1D，A1A.故选A、C、D. 11．在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连接对应顶点．设＝a，＝b，＝c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{a，b，c}表示向量＋的结果为________． 解析：如图，＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＝b＋(a＋b)＋(a＋c)＝a＋b＋c. 答案：a＋b＋c 12．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是________，线段EF的长度为________． 解析：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个基底，∴|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝a·c