4.2.5 正态分布（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4.2.5　正态分布 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的特征. 3.了解正态分布的均值、方差及其含义. 重点 难点 重点:根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内取值的概率. 难点:正态曲线的性质及其实际应用. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 (一)二项分布与正态曲线 1．正态曲线的定义 E(X) 均值 标准差 正态曲线 钟形曲线 2．正态曲线的性质 (1)正态曲线关于______对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有_______ 、 _______的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为_____； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ ______，说明标准差越大，数据的集中程度______，所以曲线越“____”；σ ______，说明标准差越小，数据的集中程度______ ，所以曲线越“_____”． x＝μ 中间高 两边低 1 越弱 越大 胖 越小 越强 瘦 答案：C　 解析：由条件可知μ＝0，σ＝2. 3．(多选)把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，则下列说法中正确的是 (　 ) A．曲线b仍然是正态曲线 B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2 D．以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2 答案：ABD　 解析：正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故C错误． (二)正态分布与标准正态分布 1．正态分布 一般地，如果随机变量X落在区间[a, b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a, b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～_________，此时φμ，σ(x)称为X的_______________ ． 此时μ是X的______，σ是X的________，σ2是X的______． N(μ，σ2) 概率密度函数 均值 标准差 方差 2．“3σ原则” 如果X～N(μ， σ2)，那么P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝______，P(|X－μ|≤σ)＝ P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ______ ，P(|X－μ|≤2σ)＝ P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ _______ ，P(|X－μ|≤3σ)＝ P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ _______. 最后的式子意味着，X约有_______的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约______的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的____________． 50% 68.3% 95.4% 99.7% 99.7% 0.3% “3σ原则” μ＝0 σ＝1 1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号) ①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件； ②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件； ③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件； ④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件． 答案：④ 解析：∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈0.997，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈1－0.997 ＝0.003，∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件． 2．若随机变量Z～N(0,1)，P(Z≤1.52)＝0.935 7，则P(Z>1.52)＝________. 答案：0.064 3 [题点一] 正态曲线及其性质 [答案]　D [解析]　∵正态曲线关于直线x＝μi对称，∴μ1<μ2＝μ3.∵σ越小，曲线越“高瘦”，∴由题图得σ1＝σ2<σ3. 方法技巧 对点训练 答案：ABC　 [题点二] 利用正态分布的对称性求概率 方法技巧 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解． 对点训练 2．设X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)； (2)P(－1＜X≤1)； (3)P(3＜X≤5)； (4)P(X≥5)． 解：由X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝