4.2.4 第一课时 离散型随机变量的均值（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4.2.4　随机变量的数字特征 第一课时　离散型随机变量的均值 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解离散型随机变量的均值的概念和意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值. 2.掌握离散型随机变量的均值的性质和两点分布、超几何分布及二项分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题. 重点 难点 重点:离散型随机变量的均值的实际应用. 难点:理解离散型随机变量的意义. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1．离散型随机变量的均值的定义 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 2．离散型随机变量均值的意义 离散型随机变量X的均值E(X)也可用EX表示，它刻画了X的_________． 平均取值 p np 4．均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量， (1)Y也是随机变量； (2)E(aX＋b)＝_________. aE(X)＋b 1．已知离散型随机变量X的分布列为 答案：A 2．已知X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 a 则E(2X＋0.2)＝ (　 ) A．4.8 B．5 C．6 D．8.4 答案：B [典例1]　(1)随机变量X的分布列如表，则E(5X＋4)＝ (　 ) [题点一] 离散型随机变量均值的性质及应用 X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A．16 B．11 C．2.2 D．2.3 (2)某射手射击所得环数ξ的分布列如表： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 方法技巧 与离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键是由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)． 对点训练 1．已知随机变量X的分布列如表： [题点二] 三种特殊分布的均值 方法技巧 对点训练 2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________． 答案：0.8 解析：因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. [题点三] 求离散型随机变量的均值 (2)求小华同学获得总分X的分布列及数学期望． 方法技巧 求离散型随机变量的均值的一般步骤 (1)确定取值：理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值； (2)求概率：计算出P(X＝k)； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：利用E(X)的计算公式计算E(X)．其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在． 对点训练 4．乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求．某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表： 民宿点 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 普通型民宿 16 8 12 14 13 18 9 20 品质型民宿 6 16 4 10 11 10 9 12 (1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率； (2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和数学期望． [典例4]　现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，根据对市场120份样本数据的统计，甲项目年利润分布如表： [题点四] 离散型随机变量均值的实际应用 年利润 1.2万元 1.0万元 0.9万元 频数 20 60 40 合格次数 2 1 0 年利润 1.3万元 1.1万元 0.6万元 记随机变量X，Y分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润．将甲项目年利润的频率作为对应事件的概率． (1)求X>Y的概率； (2)某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由． 所以E(Y)＝0.9. 因为E(X)>E(Y)，且X>Y的概率比X<Y的概率大，所以甲项目更具有投资价值． 1．实际问题中的均值问题 均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均