4.2.4 第二课时 离散型随机变量的方差（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4.2.4　第二课时　离散型随机变量的方差 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念与意义． 2.掌握方差的性质，能计算离散型随机变量的方差，并能解决一些简单的实际问题． 3.会求两点分布、二项分布、超几何分布的方差及标准差． 重点 难点 重点:能计算离散型随机变量的方差. 难点:理解离散型随机变量方差的意义. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1．方差 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn [x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn 离散程度 波动大小 DX 离散程度 波动大小 3．几种常见分布的方差 (1)两点分布的方差：D(X)＝_________； (2)二项分布的方差：D(X)＝ _________ ． 4．离散型随机变量方差的性质 若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝ _________． p(1－p) np(1－p) a2D(X) 对离散型随机变量的方差和标准差的理解 (1)随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散的程度，D(X)越小，稳定性越高，波动越小． (2)随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差为总体的方差，是一个常数，不随所抽样本而变化，样本方差与所抽样本有关，是一个变量，但随着样本容量的增大，样本方差会趋于总体方差． 1．判断正误 (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定． (　 ) (2)若a是常数，则D(a)＝0. (　 ) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度. (　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若随机变量X服从两点分布， 且成功的概率p＝0.5, 则E(X)和D(X)分别为 (　 ) A．0.5和0.25 B．0.5和0.75 C．1和0.25 D．1和0.75 答案：A 3．D(X－D(X))的值为 (　 ) A．无法求 B．0 C．D(X) D．2D(X) 答案：C 4．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________． 答案：0.196 [典例1]　设随机变量X的分布列为 [题点一] 离散型随机变量方差的性质 方法技巧 求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一种是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解． 对点训练 1．已知随机变量X的分布列为 [题点二] 求离散型随机变量的方差 方法技巧 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)； (4)根据公式计算方差． 对点训练 [典例3]　为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求X，Y的分布列； (2)求X，Y的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． [题点三] 离散型随机变量方差的实际应用 [解]　(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. ∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2， ∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴X，Y的分布列分别为 X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得 E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)； D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋ (7－9.2)2×0.1＝0.96； D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋ (7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(X)>E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又因为D(X)<D(Y)，说明甲射中的环数比