“4翼”检测评价（19）相关系数及非线性回归（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

“四翼”检测评价（十九） 相关系数及非线性回归 (一)基础落实 1．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，在y轴上的截距是a，那么必有(　 ) A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同 C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反 解析：选A　当b>0时，两变量正相关，此时r>0；当b<0时，两变量负相关，此时r<0.故选A. 2．(2023·天津高考)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是(　 ) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.824 5 解析：选C　因为相关系数r＝0.824 5>0.75，所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以A、B错误，C正确；因为相关系数与样本的数据有关，所以当样本发生变化时，相关系数也会发生变化，所以D错误．故选C. 3．已知变量y关于x的回归方程为＝ebx－0.5，其一组数据如下表所示： x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 若x＝5，则预测y的值可能为(　 ) A．e5 B．e C．e7 D．e 解析：选D　将式子两边取对数，得到ln ＝bx－0.5，令z＝ln ，得到z＝bx－0.5，列出x，z的取值对应的表格， x 1 2 3 4 z 1 3 4 6 则＝＝2.5，＝＝3.5， ∵(，)满足z＝bx－0.5，∴3.5＝b×2.5－0.5， 解得b＝1.6，∴z＝1.6x－0.5，∴y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝e，故选D. 4．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球．为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“排骨茶”，为了解每壶“排骨茶”中所放茶叶量x(单位：克)与食客的满意率y的关系，通过调查研究发现可选择函数模型y＝ekx＋c来拟合y与x的关系，根据以下数据： 茶叶量x/克 1 2 3 4 5 ln(100y) 4.34 4.36 4.44 4.45 4.51 可求得y关于x的回归方程为(　 ) A.＝e0.043x＋4.291 B.＝e0.043x－4.291 C.＝e0.043x＋4.291 D.＝e0.043x－4.291 解析：选A　由表中数据可知＝＝3，＝4.42.对于A，＝e0.043x＋4.291化简变形可得100＝e0.043x＋4.291，两边同时取对数可得ln(100)＝0.043x＋4.291，将＝3代入可得ln(100)＝0.043×3＋4.291＝4.42，与题中数据吻合；故选项A正确；对于B，＝e0.043x－4.291化简变形可得100＝e0.043x－4.291，两边同时取对数可得ln(100)＝0.043x－4.291，将＝3代入可得ln(100)＝0.043×3－4.291＝－4.162≠4.42，所以选项B错误；对于C，＝e0.043x＋4.291，两边同时取对数可得ln ＝0.043x＋4.291，而表中所给数据为ln(100)的相关量，所以C错误；对于D，＝e0.043x－4.291，两边同时取对数可知ln ＝0.043x－4.291，而表中所给数据为ln(100)的相关量，所以D错误． 5．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2…，xn不全等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的相关系数为________． 解析：当r＝±1时，x与y的关系完全对应，又因为散点图上的各点在直线y＝x＋1上，故样本的相关系数应为1. 答案：1 6．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令＝ln y，求得回归直线方程为＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为________． 解析：因为＝0.25x－2.58，＝ln y， 所以y＝e0.25x－2.58. 答案：y＝e0.25x－2.58 7．在钢铁碳含量对于电阻的效应研究中，得到如下数据表： 碳含量 x/% 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 20 ℃时 电阻y/Ω 15 18 19 21 22.6 23.6 26 则相关系数r＝________.说明钢铁碳含量与电阻之间具有________(选填“较强”或“较弱”)的相关关系． 解析：由已知数据得＝i≈0.543，