“4翼”检测评价（17）正态分布（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

“四翼”检测评价（十七） 正态分布 (一)基础落实 1.设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的曲线如图所示，则有(　 ) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 解析：选A　由正态曲线的性质可知，N(μ1，σ)，N(μ2，σ)的曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题图知μ1<μ2，且N(μ1，σ)的曲线较N(μ2，σ)的曲线“高瘦”，因此σ1<σ2. 2．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(2<X<4)＝(　 ) A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 解析：选B　由题可知P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.8＝0.2，由于X～N(3，σ2)，所以P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.2，因此，P(2<X<4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝1－0.2－0.2＝0.6.故选B. 3．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为(　 ) A．10 B．8 C．6 D．4 解析：选D　由随机变量X～N(1,52)，知正态曲线关于直线x＝1对称，又P(X≤0)＝P(X≥a－2)，所以区间(0,1)与区间(1，a－2)关于直线x＝1对称，即(0＋a－2)＝1，解得a＝4.故选D. 4．某厂生产的零件外直径X(单位：mm)近似服从正态分布N(10,0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75 mm和9.35 mm，则可认为(　 ) A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C．上、下午生产情况均为正常 D．上、下午生产情况均为异常 解析：选B　根据3σ原则，外直径在区间(10－3×0.2，10＋3×0.2)内，即在(9.4,10.6)内时为正常，在区间(9.4,10.6)之外时为异常．因为9.4<9.75<10.6，9.35<9.4，所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常． 5．(多选)设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则下列结论中正确的是(　 ) A．P(|X|<a)＝P(|X|<a)＋P(|X|＝a)(a>0) B．P(|X|<a)＝2P(X<a)－1(a>0) C．P(|X|<a)＝1－2P(X<a)(a>0) D．P(|X|<a)＝1－P(|X|>a)(a>0) 解析：选ABD　正态分布的随机变量是连续型随机变量，所以P(|X|＝a)＝0，A正确；由X～N(0,1)，得μ＝0，所以正态曲线关于直线x＝0对称，P(|X|<a)＋2P(X>a)＝1.又P(X>a)＋P(X<a)＝1，所以P(|X|<a)＋2(1－P(X<a))＝1，即P(|X|<a)＝2P(X<a)－1(a>0)，所以B正确，C错误；P(|X|<a)＋P(|X|>a)＝1(a>0)，D正确． 6．若正态曲线的函数解析式为φ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则其均值μ＝_______，方差σ2＝______. 解析：将函数解析式变形为φ(x)＝·e－，则μ＝1，σ＝，所以σ2＝π. 答案：1　π 7．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，P(X<6)＝0.78，则P(X≤2)＝________. 解析：由正态曲线的性质得P(X≤2)＝P(X≥6)＝1－P(X<6)＝1－0.78＝0.22. 答案：0.22 8．设ξ～N(1,1)，试求： (1)P(0<ξ≤2)；(2)P(2<ξ≤3)；(3)P(ξ≥3)． 解：∵ξ～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1. (1)P(0<ξ≤2)＝P(1－1<ξ≤1＋1)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 6. (2)P(2<ξ≤3)＝P(－1<ξ≤0)＝[P(－1<ξ≤3)－P(0<ξ≤2)]＝[P(1－2<ξ≤1＋2)－0.682 6]＝[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－0.682 6]≈×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)P(ξ≥3)＝P(ξ≤－1)＝[1－P(1－2<ξ<1＋2)]＝[1－P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)]≈×(1－0.954 4)＝0.022 8. 9．在某校举行的一场古诗词大赛中，全体参赛学生的成绩X(单位：分)近似服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上的学生有16名． (1)试问此次参赛的学生约有多少人？ (2)若该校计划奖励成绩在80分以上的学生，试问此次大赛获得奖励的学生约有多少人？ 附：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682 6，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 4，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 4. 解：(1)由题意知，X～