“4翼”检测评价（15）离散型随机变量的均值（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

“四翼”检测评价（十五） 离散型随机变量的均值 (一)基础落实 1．已知某一随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝6.3，则a的值为(　 ) X a 7 9 P b 0.1 0.4 A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选A　根据随机变量X的分布列可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝ab＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4. 2．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝若随机变量X的分布列如表，则E(X)＝(　 ) X 0 1 P 0.3 p A．0.21 B．0.3 C．0.5 D．0.7 解析：选D　易知0.3＋p＝1，所以p＝0.7，所以E(X)＝0×0.3＋1×0.7＝0.7. 3．设随机变量X的分布列如表，且E(X)＝1.6，则a－b等于(　 ) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4 解析：选C　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8. 又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6， 得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. 4．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，则E(Y)＝(　 ) A．15 B．20 C．5 D．10 解析：选D　因为X～B，所以E(X)＝，又E(X)＝15，则n＝30.又Y～B，故E(Y)＝30×＝10. 5．(多选)随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表所示： X 1 2 3 4 P m n 则下列正确的是(　 ) A．E(X)＝12 B．E(X)＝ C．m＝ D．n＝ 解析：选BCD　根据分布列可知m＋n＝1－－＝.因为Y＝12X＋7，E(Y)＝34，可得12E(X)＋7＝34，解得E(X)＝，即1×＋2×m＋3×n＋4×＝，整理得2m＋3n＝，解得m＝，n＝.故选B、C、D. 6．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________． 解析：设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X， 则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6， E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48. 答案：48 7．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝________. 解析：X可能的取值为0,1,2， P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015， P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22， P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765， 所以E(X)＝1×0.22＋2×0.765＝1.75. 答案：1.75 8．为响应“双减政策”，丰富学生课余生活，某校举办趣味知识竞答活动，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．小明、小红两位同学代表高二(1)班答题，假设每道题小明答对的概率为，小红答对的概率为p(0<p<1)，且每道题是否答对相互独立．记高二(1)班答对题目的数量为随机变量X. (1)若p＝，①求高二(1)班答对某道题的概率；②求X的分布列和数学期望； (2)若高二(1)班至少答对一道题的概率不小于，求p的最小值． 解：(1)①高二(1)班答对某道题的概率为×＋×＝. ②根据题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4， 则X～B，P(X＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)． 所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 则对应期望为E(X)＝4×＝1. (2)因为高二(1)班答对某道题的概率为×＋×p＝＋p. 答错的概率为1－＝－p， 所以1－4≥，解得≤p<1. 故p的最小值为. 9．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望． 解：(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P E(