“4翼”检测评价（7）二项式系数的性质（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

“四翼”检测评价（七） 二项式系数的性质 (一)基础落实 1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是(　 ) A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 解析：选D　第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第n－k＋2项的二项式系数为C. 2．设二项式n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是(　 ) A．第9项 B．第8项 C．第9项和第10项 D．第8项和第9项 解析：选A　因为展开式的第5项为T5＝Cx，所以令－4＝0，解得n＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项． 3．(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是(　 ) A．第4项 B．第4、5项 C．第5项 D．第3、4项 解析：选B　(x－y)n的展开式有n＋1项，当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．而(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是中间两项，即第4、5项． 4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　 ) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：选B　x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C·2＝6. 5．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　 ) A．－2 B．1 C．2 D．2×39 解析：选A　令x＝－1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2. 6．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________． 解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5. 答案：5 7．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 解析：因为8<C＋C＋…＋C<32，即8<2n<32. 所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x. 答案：6x 8．已知在(1－2log2x)n的展开式中，所有奇数项的二项式系数的和为64. (1)求n的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 解：(1)由题意知C＋C＋C＋…＋C＝2×64， 即2n＝128，则n＝7. (2)设(1－2log2x)7＝a0＋a1log2x＋a2(log2x)2＋…＋a7(log2x)7，令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2log22)7＝－1，即展开式中所有项的系数之和为－1. 9．已知二项式(1＋ax)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，其展开式中各项系数和为27.若抛物线方程为y2＝2ax，过点且倾斜角为的直线l与抛物线交于A，B两点． (1)求展开式中最大的二项式系数(用数字作答)； (2)求线段AB的长度． 解：(1)二项式系数分别为C，C，…，C，其中C＝C最大．故最大的二项式系数为35. (2)令x＝1，有(1＋a)7＝27，∴a＝1. 抛物线方程为y2＝2x，直线l过抛物线的焦点且倾斜角为，则直线方程为y＝x－， 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 可得x2－3x＋＝0，即x1＋x2＝3，x1x2＝， 故|AB|＝·＝4. (二)综合应用 10．已知二项式n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是(　 ) A．－84 B．－14 C．14 D．84 解析：选A　由二项式n的展开式中所有二项式系数的和是128，得2n＝128，解得n＝7. ∴n＝7，则Tr＋1＝C·(2x2)7－r·r＝(－1)r·27－r·C·x14－3r.令14－3r＝－1，得r＝5.∴展开式中含项的系数是－4×C＝－84.故选A. 11．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选B　由二项式系数的性质知， 二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C＝a， 二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C＝C＝b， 因此13C＝7C， 所以13·＝7·， 所以m＝6. 12．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 解析：∵n展开式的二项式系数之和为2n， ∴2n＝64，∴n＝6. ∴Tr＋1＝Cx6－rr＝Cx6－2r. 由6－2r＝0，得r＝3， ∴其常数项为T3＋1＝C＝20. 答案：20 13．杨辉三