“4翼”检测评价（6）2项式定理及应用（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

“四翼”检测评价（六） 二项式定理及应用 (一)基础落实 1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(　 ) A．9 B．10 C．11 D．8 解析：选C　∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11. 2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为(　 ) A．－210 B．210 C．－120i D．－210i 解析：选A　由通项公式得T7＝C·(－i)6＝－C＝－210. 3.6展开式中常数项为(　 ) A．60 B．－60 C．250 D．－250 解析：选A　6展开式中常数项为C()4·2＝60. 4.9展开式中的第四项是(　 ) A．56x3 B．84x3 C．56x4 D．84x4 解析：选B　由通项公式有T4＝Cx63＝84x3. 5．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是(　 ) A．－297 B．－252 C．297 D．207 解析：选D　x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项． ∴其系数为C＋C(－1)＝207. 6．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案) 解析：二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝. 答案： 7．若5展开式中的常数项为－40，则a＝________. 解析：5展开式的第r＋1项为 Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝C25－rx5－2r， 因为5的展开式中的常数项为－40，所以axC22x－1＋C23x＝－40， 所以40a＋80＝－40，解得a＝－3. 答案：－3 8.5(x>0)的展开式中的常数项为________． 解析：5(x>0)可化为10，因而Tr＋1＝C10－r()10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数项为C·5＝. 答案： 9.若二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值． 解：∵Tr＋1＝Cx6－rr＝(－a)rCx， 令6－＝3，则r＝2，得A＝C·a2＝15a2； 令6－＝0，则r＝4，得B＝C·a4＝15a4. 由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，所以a＝2. 10．已知二项式10. (1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项． 解：(1)10的展开式的第5项为 T5＝C(x2)64＝C4x124＝x10. (2)设第k＋1项为常数项， 则Tk＋1＝C·(x2)10－k·k＝C·x·k(k＝0,1,2，…，10)， 令20－k＝0，得k＝8， 所以T9＝C ·8＝， 即第9项为常数项，其值为. (二)综合应用 11．若(x＋a)5的展开式中x3的系数为20，则a＝(　 ) A．－ B. C．－ D. 解析：选B (x＋a)5＝x5＋a5，5的通项为Tk＋1＝C 5－k·(2x)k＝2kCx2k－5.令2k－5＝2，得k＝(舍)，令2k－5＝3，得k＝4，依题意得24·a·C＝20，解得a＝.故选B. 12．使n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B　由二项式定理得，Tr＋1＝C(3x)n－r·r＝C3n－rx，令n－r＝0，当r＝2时，n＝5，此时n最小． 13．(多选)已知在n的二项展开式中，第6项为常数项，则(　 ) A．n＝10 B．展开式中项数共有13项 C．含x2的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 解析：选ACD　依题意，n展开式的通项为Tr＋1＝C·()n－r·r＝C·r·x.因为第6项为常数项，所以当r＝5时，有＝0，解得n＝10，故A正确；由n＝10，得10展开式中项数共有10＋1＝11项，故B错误；令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，所求含x2项的系数为C×2＝.故C正确；由令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k.因为r∈N，所以k应为偶数，所以k可取2,0，－2，即r可以取2,5,8，所以第3项，第6项，第9项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D正确．故选A、C、D. 14．(x2－x－2)4的展开式中，x3的系数为__________．(用数字填写答案) 解析：(x2－x－2)4＝[x2－(x＋2)]4，展开后只有(x＋2)4与－Cx2(x＋2)3中含x3项，其系数和为C×2－C×C×22＝－40. 答案：－40 15．二项式15的展开式中： (1)求常数项； (2)有几个有理项； (3)有几个整式项． 解：二项展开式的通项为 Tr＋1＝(－1)rC()15－rr＝(－1)r2rCx， (1)设Tr＋1项为常数项，则＝0， 得r＝6，