5.3.2 第一课时 函数的极值（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第一课时　函数的极值 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 3.体会导数与极值的关系． 重点 难点 重点:求函数的极值及极值的应用. 难点:对函数极值与导数的关系的理解. 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1．函数的极值点与极值 (1)极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，_________；而且在点x＝a附近的左侧_________，右侧__________，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． f′(a)＝0 f′(x)＜0 f′(x)＞0 (2)极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)__________ 、___________统称为极值点，_______和_______统称为极值． f′(x)＞0 f′(x)＜0 极大值点 极小值点 极小值 极大值 1．对于极值的认识 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的． (2)若f(x)在某区间内有极值，则f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． 2．对于函数极值点的认识 (1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． (2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的． (3)从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0.并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正． 2．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________． 极大值 极小值 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)导数值为0的点一定是函数的极值点． (　 ) (2)函数的极小值一定小于它的极大值． (　 ) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值． (　 ) (4)如果f(x)在(a，b)内有极值,那么f(x)在(a，b)内不是单调函数． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 3．(多选)下列四个函数在x＝0处取得极小值的是 (　 ) A．y＝x3 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x 答案：BC　 解析：对于A，y＝x3在R上单调递增，无极值；对于B，y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，y＝|x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，y＝2x在R上单调递增，故D不正确． 4．函数f(x)＝2－x2－x3的极值情况是 (　 ) A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值 C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值 答案：D　 [方法技巧] 利用导数求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导数f′(x)． (3)解方程f′(x)＝0得方程的根． (4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号． (5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值． 对点训练 [方法技巧] 含参数函数极值的求法 求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论． 对点训练 令f(2)＝0，得2×22－2k＋k＝0， ∴k＝8，满足k>4. 综上，当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值0. [方法技巧] 基于函数极值求参数的方法 对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0