5.3.2 第三课时 利用导数解决函数的相关问题（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.3.2　第三课时　利用导数解决函数的相关问题 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.体会导数与函数单调性、最大 (小)值的关系. 2.掌握导数在实际问题中的应用. 3.感悟利用导数解决与不等式、函数零点有关的问题. 重点 难点 导数的实际应用及利用导数解决与不等式、函数零点有关的问题. 1 2 目 录 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 [方法技巧] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． 对点训练 [方法技巧] 利用导数证明不等式的思路 (1)若要证明f(x)>a成立，只需证明f(x)min>a即可． (2)若要证明f(x)>g(x)在区间D上成立，基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性证明h(x)min>0. 对点训练 2．已知x>0，证明：1＋2x<e2x. 证明：设f(x)＝1＋2x－e2x，则f ′(x)＝2－2e2x＝2(1－e2x)， 当x>0时，2x>0，e2x>e0＝1，∴f ′(x)＝2(1－e2x)<0， ∴函数f(x)＝1＋2x－e2x在(0, ＋∞)上是减函数． ∵函数f(x)＝1＋2x－e2x是连续函数， ∴当x>0时，f(x)<f(0)＝0， ∴当x>0时，1＋2x－e2x<0，即1＋2x<e2x. [方法技巧] 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构造函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)图象的草图，数形结合求解函数零点的个数． (2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．　　 对点训练 一、在典题训练中内化学科素养 利用导数解决函数的综合问题是历年高考的常考热点,主要考查判断(讨论)函数的单调性、求参数的取值范围、与不等式有关的问题、函数零点等,对逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养有较高的要求． 证明：构建F(x)＝x－sin x，x∈(0,1)，则F′(x)＝1－cos x>0对∀x∈(0,1)恒成立， 则F(x)在(0,1)上单调递增，可得F(x)>F(0)＝0， 所以x>sin x，x∈(0,1)． 构建G(x)＝sin x－(x－x2)＝x2－x＋sin x，x∈(0,1)， 则G′(x)＝2x－1＋cos x，x∈(0,1)，构建g(x)＝G′(x)，x∈(0,1)，则g′(x)＝2－sin x>0对∀x∈(0,1)恒成立，则g(x)在(0,1)上单调递增，可得g(x)>g(0)＝0， 即G′(x)>0对∀x∈(0,1)恒成立．所以G(x)在(0,1)上单调递增，可得G(x)>G(0)＝0， 所以sin x>x－x2，x∈(0,1)． 综上所述，x－x2<sin x<x. 解：(1)因为f(x)＝a(ex＋a)－x.定义域为R，所以f′(x)＝aex－1. 当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f′(x)＝aex－1<0恒成立， 所以f(x)在R上单调递减． 当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a. 当x<－ln a时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减； 当x>－ln a时，f′(x)>0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增． 答案：B　 2．函数f(x)＝2x3－6x＋m有三个零点，则实数m的取值范围是(　 ) A．[－4,4] B．(－∞，－4]∪[4，＋∞) C．(－4,4) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 答案：C　 注重实践应用 3．(多选)设函数f(x)，g(x)在R上的导数存在，且f′(x)>g′(x)，则当x∈(a，b)时 (　 ) A．f(x)<g(x) B．f(x)>g(x) C．f(x)＋g(b)<g(x)＋f(b) D．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a) 答案：CD　 解析：不妨设f(x)＝2x，g(x)＝1，则f′(x)＝2，g′(x)＝0，满足题意，若x＝1∈(a，b)，则f(x)＝2>