5.3.1 第一课时 函数的单调性与导数（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.3.1　函数的单调性 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 重点 难点 重点:函数单调性与导数关系的应用. 难点:理解函数的单调性与导数的关系. 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1．函数的单调性与其导数的正负关系 函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)的正负有如下关系：在定义域内的某个区间(a，b)内， 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调_____ f′(x)<0 单调_____ f′(x)＝0 常数函数 递增 递减 (1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．也就是说，在某区间内f′(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． (2)利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题 ①定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． ②注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． ③单调区间的表示：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开. 2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内， 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 ____ 比较“_____”(向上或向下) 越小 ____ 比较“_____”(向上或向下) 快 陡峭 慢 平缓 1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 (　 ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 答案：D　 解析：∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，故选D. 答案：B　 解析：由题图可知，函数f(x)在(1,5)内单调递减，则在(1,5)内有f′(x)<0，故f′(3)<0. 第一课时　函数的单调性与导数 [方法技巧] 利用导数判断或证明函数单调性的思路 对点训练 1．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是 (　 ) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 答案：A　 解析：∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数． [解]　(1)f′(x)＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)， 由f′(x)>0，得x<2或x>4；由f′(x)<0，得2<x<4. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)； 单调递减区间是(2,4)． [方法技巧] 求函数y＝f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求导数y′＝f′(x)． (3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 对点训练 [解]　由题可知函数f(x)的定义域为R，f ′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)． 由f ′(x)＞0，得x＜－2或x＞3， ∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)． [方法技巧] 通过图象研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负. 对点训练 5．已知导函数f′(x)的下列信息： 当2＜x＜3时，f′(x)＜0； 当x＞3或x＜2时，f′(x)＞0； 当x＝3或x＝2时，f′(x)＝0； 试画出函数f(x)图象的大致形状． 发展理性思维 1.函数y＝f(x)的图象如图所示,则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　 ) 答案：D　 解析：∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0. 2．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递减区间是________． 注重实践应用 答案：B　 解析：由f(x)的导函数f ′(x)的图象知，f(x)在(－∞， 0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．当x≤0时，由f(x)＜1＝f(－2)，得－2＜x≤0；当x＞0时，由f(x