5.3.1 第二课时 函数单调性的综合问题（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.3.1　第二课时　函数单调性的综合问题 1 2 目 录 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 拓展 [方法技巧] (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误． (2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．　　 对点训练 解：y′＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)， 令y′<0，得(x－a)(x－a2)<0. ①当a<0时，不等式的解集为a<x<a2，此时函数的单调递减区间为(a，a2)； ②当0<a<1时，不等式的解集为a2<x<a，此时函数的单调递减区间为(a2，a)； ③当a>1时，不等式的解集为a<x<a2，此时函数的单调递减区间为(a，a2)； ④当a＝0或a＝1时，y′≥0，此时，无单调递减区间． 综上所述，当a<0或a>1时，函数f(x)的单调递减区间为(a，a2)；当0<a<1时，函数f(x)的单调递减区间为(a2，a)；当a＝0或a＝1时，无单调递减区间． [解]　f′(x)＝3x2－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立． 因为3x2≥0，所以只需a≤0. 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞， 0]． 1．函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1, 1)内为减函数，试求a的取值范围． 解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1, 1)上恒成立，得a≥3x2在(－1, 1)上恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以a≥3. 即当a的取值范围为[3, ＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数． 拓展 [方法技巧] 1．已知f(x)在区间(a，b)内的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)内单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)内单调递增(减)的问题，则f ′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立． 2．解决恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max； (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min. 对点训练 解：f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]， 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1， 因为函数在区间(1,4)上为减函数， 所以当x∈(1, 4)时，f′(x)≤0， 又因为函数在区间(6, ＋∞)上为增函数， 所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6， 所以5≤a≤7. 即实数a的取值范围为[5, 7]． [方法技巧] 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，因此熟悉以下结论可以达到事半功倍的效果． (1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)，更一般地，遇到f′(x)>a(a≠0)，即导函数大于某个非零常数(若a＝0，则无须构造)，则可构造h(x)＝f(x)－ax. (2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． 对点训练 4．已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是 (　 ) A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案：D　 所以函数f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 又f(0)＝f(1)＝0， 所以f(x)>0的解集是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D. 一、在典题训练中内化学科素养 本书主要考查含参数的函数的单调性问题及由函数的单调性求参数问题，考查逻辑推理、数学运算等核心素养． 1．(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． 注重实践应用 3．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f ′(x)<g′(x)，则下列关系式正确的是 (　 ) A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b) B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b) C．f(x)≥g(x) D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a) 答案：B　 解析：根据题意，由f ′(x)<g′(x)，得f ′(x)－g′(x)<0.令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)在[a，b]上单调递减，由单调性知，当x