5.2.3 简单复合函数的导数（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.2.3　简单复合函数的导数 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.掌握复合函数的求导法则． 2.能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 重点 难点 重点:利用复合函数的求导公式求导数． 难点:对复合函数求导公式的理解. 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 复合函数及其导数 定义 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__________ 求导法则 对于复合函数y＝f(g(x))，y＝f(u)，u＝g(x)，y′x＝_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 y＝f(g(x)) y′u·u′x 使用复合函数求导法则的注意事项 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量． (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin 2x)′＝2cos 2x，不能得出(sin 2x)′＝cos 2x. 1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是 (　 ) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 答案：A　 解析：由复合函数求导法则知A正确． 2．设函数f(x)＝(1－2x)10，则f′(1)＝ (　 ) A．0 B．－1 C．－20 D．20 答案：D　 解析：因为f′(x)＝10(1－2x)9×(－2)＝－20(1－2x)9，所以f′(1)＝20. [方法技巧]　求复合函数的导数的步骤 对点训练 1．求下列函数的导数． (1)y＝(x2－4)2；(2)y＝log2(2x2＋3x＋1)； (3)y＝esin(ax＋b)． 解：(1)y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x＝4x3－16x. [方法技巧] 1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的． 2．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，开始由外及内逐层求导． 对点训练 [方法技巧] 求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数； (2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简单． 对点训练 答案：C　 强化拓广探索 4．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x2＋1，h(x)＝ln(x＋2)，φ(x)＝cos x(x∈(0，π))的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 (　 ) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 答案：C　 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（十七） (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 (3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y＝sin的导数，设y＝sin u，u＝2x＋，则y′x＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos. (4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写． ————————————————————————— 复合函数的导数 ————————————————————————————— [典例1]　求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝cos x2； (3)y＝sin； (4)y＝. [解]　(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝. (2)令u＝x2，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin x2. (3)令u＝2x－，则y＝sin u， 所以y′x＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos. (4)令u＝1＋x2，则y＝u， 所以y′x＝y′u·u′x＝u·2x＝x·u＝ . (2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′ ＝·(2x2＋3x＋1)′ ＝. (3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′ ＝esin(ax＋b)·cos(ax＋b)·(ax＋b)′＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)． ——————————————————