5.2.2 导数的四则运算法则（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.2.2　导数的四则运算法则 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 2.进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用． 重点 难点 重点:导数的四则运算及运用． 难点:利用导数四则运算解决综合问题. 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 导数的四则运算法则 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) cf′(x) 1．设y＝－2exsin x，则y′等于 (　 ) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 答案：D 解析：∵y＝－2exsin x，∴y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex (sin x＋cos x)． 3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则实数a＝________. [解]　(1)y′＝(x4－2x2－3x＋3)′＝4x3－4x－3. (2)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11. 法二：因为(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6. 所以y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. [方法技巧] 求函数导数的策略 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 对点训练 (2)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex. [解]　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b， 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7， 又g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)． 即7x＋y－3＝0. [方法技巧] 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 对点训练 [典例3]　如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为α. (1)试判断高h与半径r的关系； (2)传输带以0.3 m3/min送煤,当半径r＝1.7 m时，求r对时间t的变化率． (参考数据：π取3.14,1.72＝2.89,1.73≈4.91,3.14×2.89≈9,3.14×4.91≈15) ②式两边对t求导， [方法技巧] 明确自变量及相应函数值的实际意义，是解释导数实际意义的前提，审题时要先在这方面下功夫． 对点训练 一、在典题训练中内化学科素养 从近几年高考的考查情况来看，以导数计算为考查指向的考题更多的是以切线的形式来考查，强调导数几何意义的同时还考查了导数的运算及方程、不等式等. 对数学运算核心素养的要求较高． 答案：C　 2．(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____________________________________． 注重实践应用 3．现有一倒放圆锥形容器，该容器深24 m，底面直径为6 m，水以5π m3/s的速度流入，则当水流入时间为1 s时，水面上升的速度为________m/s. 答案：ABC　 5.请写出与曲线f(x)＝sin x在(0,0)处具有相同切线的另一个函数：________. 答案：y＝x3＋x(答案不唯一) 解析：∵y＝sin x的导函数为y′＝cos x，又y＝sin x过原点， ∴y＝sin x在原点(0,0)处的切线斜率k＝cos 0＝1， ∴y＝sin x在原点(0,0)处的切线方程为y＝x； 所求曲线只需满足过点(0,0)且在x＝0处的导数值y′＝